Метод наименьших квадратов

• Линейная аппроксимация

Составим таблицу исходных данных – пар чисел (p, D(p)) также в порядке возрастания значений параметра p.

Таблица 2

Оценивание функции спроса методом наименьших квадратов.

i	Це-на pi	Ni	pi Ni	D(pi)	D(pi)Ni
1	60	2	120	50	100
2	80	5	400	48	240
3	100	7	700	43	301
4	120	8	960	36	288
5	140	8	1120	28	224
6	160	6	960	20	120
7	180	5	900	14	70
8	200	5	1000	9	45
9	220	3	660	4	12
10	240	1	240	1	1
		50	7060		1401
			141,2		28,02

i	Pi2Ni	D(pi)piNi	D*(pi)	Ni[D(pi) – D*(pi)]	Ni[D(pi)-D*(pi)]2
1	7200	6000	54,04	-8,0836	32,6727
2	32000	19200	47,63	1,8378	0,6755
3	70000	30100	41,22	12,4387	22,1031
4	115200	34560	34,81	9,4908	11,2594
5	156800	31360	28,40	-3,2341	1,3074
6	153600	19200	21,99	-11,9692	23,8769
7	162000	12600	15,59	-7,9274	12,5686
8	200000	9000	9,18	-0,8804	0,155
9	145200	2640	2,77	3,6999	4,5632
10	57600	240	-3,64	4,6427	21,5547
	1099600	164900		0,0152	130,7365
					2,6147

a*=

a* =	-0,32046959
b* =	28,02
d* = b* - a*pср.
d* =	73,27

D*(p) = (-0,3204696)p + 73,27
найдем оценку среднего квадратического отклонения:

= 1,62

D*(p)верхн.\нижн =		a*p + d* +- 1,96ø *√(1/n+((p-pср)^2)/SUM(pi^2-npср^2)

D*(60) верхн. =	54,96		D*(140) верхн.=	28,85
D*(60)нижн. =	53,12		D*(140)нижн. =	27,96
D*(100) верхн. =	41,82		D*(180) верхн.=	16,18
D*(100)нижн. =	48,31		D*(180)нижн. =	14,99

При цене в 100 рублей товар купит от 42 до 48 человек

Согласно табл.2, при расчете восстановленной функции D*(p) при p = 240 получаем отрицательную величину (-3,64), что не имеет смысла, т.к. спрос не может быть отрицательным. Рассмотрим ситуацию подробнее. Функция спроса убывает, коэффициент a* отрицателен, поэтому рано или поздно прямая уйдет в отрицательную область. Это значит, что приближение функции спроса линейной зависимостью может быть корректно лишь на некотором отрезке, а не на всей прямой. Выясним, при какой цене спрос достигает 0:

D*(p) = (-0,32047)p + 73,27= 0,

p = 228,63

Т.е. корректное приближение функции спроса линейной зависимостью может быть при цене p меньшей, чем 228,63 рублей.

Расчет оптимальной цены при различных уровнях издержек p₀.

(p - p0.) D*(p) = (p. – p0.)(a*p + d*)
Продифференцируем это выражение по p и приравняем 0 производную:
2a*pопт. – а*р0 +d* = 0

Pопт=

Ропт=p₀/2-186,81/(2*(-6,2683694))

p0	pопт.1	pопт.2
40	120	134,32
60	140	144,32
80	140	154,32
100	160	164,32
120	180	174,32

Степенная аппроксимация

D(p) = cp^-.

В случае степенного семейства необходимо прологарифмировать обе части последнего равенства. Тогда получим:

ln D(p) = ln c + ln p.

Затем обозначим:

у = ln D(p), x = ln p, b =ln c.

Исходя из введенных обозначений, имеем линейное уравнение:

у = x + b.

Задача оценивания параметров степенной зависимости сведена к ранее рассмотренной задаче оценивания параметров линейной функции.