Теоретическое обоснование работы

Рассмотрим более подробно движение электронов в двухэлектродной электронной лампе (диоде) при наличии магнитного поля.

Рис. 3.2.

Для описания этого движения воспользуемся цилиндрической системой координат (рис. 3.2), в которой положение электрона определяется расстоянием r его от оси лампы, полярным углом j и смещением вдоль оси Z. Электрической поле, имеющее только радиальную компоненту, действует на электрон с силой, направленной по радиусу от катода к аноду. Магнитная сила, действующая на электрон, не имеет составляющей, параллельной оси Z. Поэтому электрон, вылетающий из катода без начальной скорости (т.к. начальные скорости электронов, определяемые температурой катода, много меньше скоростей, приобретаемых ими при движении в электрическом поле лампы), движется в плоскости, перпендикулярной оси Z.

Момент импульса L_Z электрона относительно оси Z определяется формулой

L_Z = mv_jr, (3.2)

где m - масса электрона; v_j = r - составляющая скорости движения электрона, перпендикулярная радиусу r.

Момент М_Z сил, действующих на электрон, относительно оси Z определяется только составляющей магнитной силы, перпендикулярной радиусу r, и выражаемой формулой:

F_j = ev_rB,

где e - заряд электрона; v_r = - радиальная составляющая скорости движения электрона; В - индукция магнитного поля.

Электрическая сила и составляющая магнитной силы, направленные вдоль радиуса r, относительно оси Z момента не создают. Таким образом, момент сил, действующих на электрон, относительно оси Z определится формулой

M_Z = rF_j = rev_rB. (3.3)

Согласно уравнению моментов

= M. (3.4)

Проецируя (3.4) на ось Z, получим

(mv_jr) = erv_rB = erB

или

(mv_jr) = eB(r²). (3.5)

Проинтегрировав уравнение (3.5), получим:

mv_jr = eBr² + const.

Константу найдем из начальных условий: если r = r_k (r_k - радиус катода), то v_j = 0. Тогда

const = -eB

и

v_j = (r² -). (3.6)

Согласно закона сохранения энергии кинетическая энергия электрона равна работе сил электрического поля:

(+) = eU, (3.7)

где U - потенциал относительно катода точки поля, в которой находится электрон.

Подставляя в (3.7) значение v_j из (3.6), получим

eU = (3.8)

При некотором значении индукции В_кр магнитного поля, которое называют критическим, скорость движения электрона вблизи анода станет перпендикулярной радиусу r, т.е. будет равна нулю (v_r = 0). Тогда уравнение (3.8) примет вид

eU_a = , (3.9)

где U_a - потенциал анода относительно катода (анодное напряжение); r_a - радиус анода.

Из уравнения (3.9) находим выражение для удельного заряда электрона:

= . (3.10)

Критическое значение индукции B_кр магнитного поля соленоида, длина l которого соизмерима с его диаметром d, определяется по формуле

B_кр = m_oni_кр = , (3.11)

где m_o = 4p×10^-7 Гн/м - магнитная постоянная; N = nl - общее число витков в обмотке соленоида; n - число витков соленоида, приходящихся на единицу его длины.

Рис. 3.3.

Таким образом, экспериментально определив критическое значение индукции B_кр магнитного поля, можно вычислить величину удельного заряда e/m электрона. Для нахождения В_кр в двухэлектродной электронной лампе следует установить разность потенциалов между анодом и катодом и, включив ток в соленоиде, постепенно наращивать его, что увеличивает магнитное поле в лампе. Если бы все электроны покидали катод со скоростью равной нулю, то зависимость величины анодного тока от величины индукции магнитного поля имела бы вид, показанный пунктирной линией на рис. 3.3. В этом случае при условии B < B_кр все электроны, испускаемые катодом, достигали бы анода, а при условии B > B_кр ни один электрон не достиг бы анода. Однако некоторая некоаксиальность катода и анода, наличие остаточного газа в лампе, падение напряжения вдоль катода, неоднородность магнитного поля соленоида по высоте анода и другие причины приводят к тому, что критические условия достигаются для разных электронов при различных значениях индукции В магнитного поля. Все же перелом кривой останется достаточно резким и может быть использован для определения критического значения B_кр индукции магнитного поля.