3. Пример расчета переходного процесса в цепи II порядка

Дана цепь (рис. 2.3) с параметрами Е = 30 В , J = 2 А , R₁ = 20 Ом , R₂ = 10 Ом, С = 100 мкФ , L = 50 мГн .

Определить закон изменения тока i₁(t) после коммутации.

3.1. Классический метод расчета

1. Правила коммутации:

i_L(0_–) = i_L(0₊) = 0 А,

u_C(0_–) = u_C(0₊) = J R₂ = 20 B.

2. Составление характеристического уравнения цепи.

2.1. Совместное решение однородной системы дифференциальных уравнений. Составляем систему дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений по законам Кирхгофа:

Из уравнения (2.12)

.

Из уравнения (2.13) определим ток

(2.17)

и подставим его в выражение для тока индуктивности

.

Определим производную тока индуктивности

.

Из уравнения (2.11) определим ток i₄

и подставим в полученное уравнение (2.17)

.

Все полученные выражения подставляем в уравнение (2.14)

.

После приведения подобных слагаемых и группирования получаем дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка

Таким образом методом исключения из системы дифференциальных уравнений для любой электрической цепи можно получить дифференциальное неоднородное уравнение.

Характеристическое уравнение получается из соответствующего однородного дифференциального уравнения в результате замены производных на соответствующие степени оператора p и имеет вид

2.2. Алгебраизация дифференциальных уравнений. Для получения характеристических уравнений записывается система уравнений по методу контурных токов, которая впоследствии переписывается в алгебраической форме с помощью вспомогательного символа p, заменяющего операцию дифференцирования, и 1/p, заменяющего операцию интегрирования:

Так как i₃₃ = J , следовательно,

и, соответственно, для свободных составляющих токов:

Данная система алгебраических уравнений имеет решение, отличное от нулевого только тогда, когда ее определитель равен нулю:

или

Таким образом, характеристическое уравнение в результате преобразования принимает вид

.

2.3. Метод входного сопротивления. Удалим источники из цепи в соответствии с известным правилом: источники эдс заменяются короткозамкнутыми участками, ветви с источниками тока размыкаются.

В произвольной ветви, разорвав цепь, запишем входное сопротивление:

Заменив j на p, получим

Приравняв данное выражение нулю (Z(р) = 0) и произведя необходимые преобразования, получим характеристическое уравнение цепи

Подставим значения параметров цепи:

p² + 700p + 300000 = 0.

Корни характеристического уравнения

p₁ = – 350 + j421,308, p₂ = – 350 – j421,308

являются комплексными сопряженными, следовательно, переходный процесс в цепи имеет колебательный характер.

5. Определение принужденной составляющей. Рассматриваемая цепь в принужденном режиме имеет вид (рис. 2.4)

,

i_1пр = 1/3 (A).

4. Определение свободной составляющей. Для цепей, характеристические числа которых имеют комплексные сопряженные значения, свободная составляющая определяется в виде

i_1св(t) = e^–t(A₁cos t + A₂ sin t),

где  – декремент затухания,  – частота свободных колебаний определяются через корни характеристического уравнения p_1,2 = –  + j.

Таким образом, в выражении i_1св необходимо определить постоянные интегрирования А₁ и А₂. Вычисление их ведется с помощью системы уравнений, составленных для момента t = 0₊:

4.1. Определение значений и с использованием системы уравнений Кирхгофа. В данном случае cоставляется система уравнений Кирхгофа. Методом исключения выражается значение тока i₁(0₊) через известные значения u_C(0₊) и i₂(0₊):

.

Дифференцируя выражение для i₁(t), получим

.

Произведя необходимые преобразования и подстановки в системе уравнений Кирхгофа, получим

.

Подставив соответствующие значения u_C и i_L в момент t = 0₊, рассчитаем

i₁(0₊) = – 250 A/с.

4.2. Определение i₁(0₊) и i₁(0₊) с использованием резистивных схем замещения в момент t = 0₊. Схема замещения в 0₊ для величин токов и напряжений изображена на рис. 2.5

Е_С = u_С(0_–)

J = i_L(0_–)

J

По II закону Кирхгофа получим

Для построения схемы замещения в (0₊) для производных токов и напряжений необходимо определить начальные значения:

Таким образом, следует определить i_C(0₊) и u_L(0₊) с помощью уже полученной схемы замещения:

а) для определения u_L(0₊) составим уравнение по II закону Кирхгофа:

u_L(0₊) – i_R2(0₊)R₂ = – u_C(0₊)

подставив значения, получим u_L(0₊) = 0, следовательно, .

б) i_C(0₊) = i₁(0₊) = 0,5 A , следовательно, = 5000 B/с.

При построении схемы замещения в 0₊ для производных следует:

• источники заменить на аналогичные источники с ЭДС или задающим током, равным соответственно производной от данных в задании;

• номиналы резисторов остаются неизменными;

• емкости и индуктивности же замещаются в соответствии со следующим правилом – емкости с нулевыми начальными условиями () заменяются короткозамкнутыми участками, с ненулевыми начальными условиями() – противодействующими источниками ЭДС с ;

• ветви с индуктивностями, имеющими нулевые начальные условия () размыкаются, в случае ненулевых начальных условий () индуктивности заменяют на содействующие источники тока с .

Таким образом, осуществляется операция дифференцирования, адекватная дифференцированию системы уравнений Кирхгофа.

В нашем случае, когда в цепи действуют источники постоянных воздействий, источники ЭДС заменяются короткозамкнутыми участками (т.к. ), а ветви с источниками тока размыкаются (т.к. ).

Т аким образом, схема замещения в t = 0₊ для производных имеет вид (рис. 2.6). Определим .