Тема 3.2. Численное интегрирование. Приближенное вычисление определенных интегралов.

1. Понятие численного интегрирования.

2. Метод прямоугольника.

3. Метод трапеций.

4. Метод парабол.

Пункт 1. Понятие численного интегрирования.

Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) - вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых x = a и x = b, где a и b - пределы интегрирования (см. рисунок).

Необходимость применения численного интегрирования чаще всего может быть вызвана отсутствием у первообразной функции представления в элементарных функциях и, следовательно, невозможностью аналитического вычисления значения определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

Пункт 2. Метод прямоугольника.

Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке . Этот отрезок делится точками на равных отрезков длиной Обозначим через значение функции в точках Далее составляем суммы Каждая из сумм - интегральная сумма для на и поэтому приближённо выражает интеграл

Если заданная функция - положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также называемая формулой левых прямоугольников, а формула

выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также называемая формулой правых прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.

Очевидно, стоит рассчитывать на бо́льшую точность если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников:

, где .

Учитывая априорно бо́льшую точность последней формулы при том же объеме и характере вычислений её называют формулой прямоугольников.

Погрешность формулы прямоугольника:

, где .

Пример 10.

Вычислить интеграл при n=10 с точностью до 0,0001 по формулам прямоугольников.

Решение:

Разделим интервал интегрирования [0; 1] на 10 равных частей шаг разбиения.

Найдем точки деления х_n и значения подынтегральной функции в этих точках.

n	xn
0	0	2.2136
1	0.1	2.2363
2	0.2	2.2378
3	0.3	2.2421
4	0.4	2.2503
5	0.5	2.2638
6	0.6	2.2839
7	0.7	2.3115
8	0.8	2.3478
9	0.9	2.3935
10	1.0	2.4494

Используя одну из формул прямоугольников , имеем

Для нахождения абсолютной погрешности формулы прямоугольников вычислим наибольшее значение первой производной в интервале [0; 1].

;

тогда предельная абсолютная погрешность R_n приближения равна:

Ответ: .

Пример 11.

Вычислить интеграл при n=10 и ε=0,001 по формуле прямоугольника.

Решение:

Разделим интервал интегрирования [1; 2] на 10 равных частей шаг разбиения.

Найдем точки деления х_n и значения подынтегральной функции в этих точках.

n	xn
0	1,0	1.000
1	1.1	1.049
2	1.2	1.095
3	1.3	1.140
4	1.4	1.183
5	1.5	1.225
6	1.6	1.265
7	1.7	1.304
8	1.8	1.342
9	1.9	1.378
10	2.0	1.414

Используя одну из формул прямоугольников , имеем

.

Для нахождения абсолютной погрешности формулы прямоугольников вычислим наибольшее значение первой производной в интервале [1; 2].

.

Так как y’ на отрезке [1; 2] достигает наибольшего значения при х=1, отсюда .

Ответ: .