Теоретический материал

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.Функция F(x) называется первообразной функции на интервале , если для любого выполняется равенство .

2. Свойства неопределенного интеграла

1) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегралъному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

3) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

- постоянная.

4) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:

.

5) Если , то и , где - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

3. Таблица основных интегралов:

4. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной):

,

где - функция, имеющая непрерывную производную.

5. Метод интегрирования по частям:

пусть и - функции, имеющие непрерывные производные, тогда . Этот метод применяется:

1) к интегралам, вида где - многочлен, - число, положив , а за взять все остальные сомножители;

2) к интегралам, вида

, положив , а за взять остальные сомножители;

3) к интегралам, вида где и - числа, за можно принять функцию .

6. Правильные рациональные дроби, вида:

1. II. (-целое положительное2)

III. (корни знаменателя комплексные, т.е. ).

4. (-целое положительное2; корни знаменателя комплексные)

называются простейшими дробями I, II, III и IV типов.

7. Всякая правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простейших рациональных дробей, которые берутся:

1. через логарифмы – в случае простейших дробей І типа;

2. через рациональные функции – в случае простейших дробей ІІ типа;

3. через логарифмы и арктангенсы – в случае ІІІ типа;

4) через рекуррентную формулу: , последовательное применение которой приводит к табличному интегралу .

8. Интегралы, вида , где - рациональная функция относительно берутся с помощью универсальной замены переменной

, , то . В результате получаем, что, где - рациональная функция.

9. Если подынтегральная функция удовлетворяет условию

то она может быть преобразована к виду ,

после чего в интеграле делается замена , , ,

и он сводится к интегралу от рациональной функции.

10. Интегралы типа , где m, n – постоянные числа приводятся к сумме первых степеней синусов и косинусов с помощью формул:

11. Интегралы вида , где m и n – любые целые показатели:

1) если хотя бы один из показателей m или n будет нечетным целым положительным, например, , то полагая , получим:

2) если оба показателя m и n – четные, положительные, целые числа, то рекомендуется применить формулы

.

12. Интеграл где a,b,c,d – постоянные числа, m- натуральное число, ad-bc≠0, R(x,y) - рациональная функция, замена приводит , где - рациональная функция.

13. К интегралам от функций, содержащих иррациональные выражения относятся интегралы:

;

;

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

14. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм этой функции по разбиениям , у которых максимальный стремится к нулю, т.е.

.

15. Геометрический смысл определенного интеграла: интеграл выражает точную площадь соответствующей криволинейной трапеции.

16. Формула Ньютона-Лейбница: если функция непрерывна в отрезке и функция есть ее первообразная на этом отрезке, тогда

.

17.Замена переменной в определенном интеграле: если функция непрерывна на отрезке , а функция монотонна и непрерывно дифференцируема на отрезке , где , , тогда

.

18. Метод интегрирования «по частям»: если функции и непрерывны дифференцируемы на отрезке , тогда верно равенство

.

19. Несобственным интегралом от до от этой функции называется предел:

.

Если этот предел существует (равен числу), то несобственный интеграл называется сходящимся; если он не существует, то интеграл называется расходящимся.

20. Несобственным интегралом от до слева от этой функции называется предел слева

.

Если предел равен конечному числу, то интеграл называют сходящимся. Если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называют расходящимся.

ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

21. Площадь области, ограниченной линиями и графиками непрерывных на функций , где на , находится по формуле

22. Если график функции на отрезке задан с помощью параметрических функций

где непрерывна, а -монотонная, непрерывно дифференцируемая функция на , причем , , то площадь соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле

.

23. Если область на плоскости, ограничена лучами, исходящими из начала координат и , где и графиком непрерывной в отрезке неотрицательной функции , то площадь этой области вычисляется по формуле:

.

24. Если кривая - график непрерывно дифференцируемой на функции спрямляема, и её длина находится по формуле

.

25. Если кривая в пространстве задается с помощью непрерывно дифференцируемых параметрических функций

то длина ее находится по формуле

.

26. Пусть кривая в полярных координатах задана с помощью непрерывно дифференцируемой неотрицательной функции , где . Тогда эта кривая спрямляема и ее длина равна

.

27. Объем тела T вычисляется по формуле

, где - площадь сечения перпендикулярного ОХ.

28. Если тело T образовано вращением криволинейной трапеции, задаваемой непрерывной функцией на вокруг , то объем указанного тела вращения определяется соотношением .

29. Пусть рассмотренная выше криволинейная трапеция при и вращается вокруг оси , то объем получившегося тела находится по формуле

.

30. Пусть график непрерывно дифференцируемой функции , где и , вращается вокруг оси , то площадь получившейся поверхности вращения находится по формуле

.