2.2. Сила гидростатического давления на плоскую поверхность

Сила гидростатического давления на плоскую поверхность

где h_ц — глубина погружения центра тяжести смоченной части пло­щади поверхности;

- площадь смоченной части по­верхности.

Сила избыточного гидростатического давления при р₀ = р_а

Эта сила приложена в центре давления, координата которой определяется по формуле

где — координата центра тяжести смо­ченной части поверхности;

— момент инерции площади смоченной части поверхности отно­сительно горизонтальной оси, проходящей через центр ее тяжести.

Внешнее давление р₀ распределено равномерно по всей площади смоченной части поверхности, поэтому его равнодействующая

приложена в центре тяжести этой поверхности.

Зная силы Р₀ и Р₁ и координаты точек их приложения y_ц и y_д, по правилу сложения параллельных сил нетрудно определить равнодей­ствующую этих сил и точку ее приложения

Р = Р₀ + Р₁.

Сила гидростатического давления на плоскую поверхность может быть определена и с помощью эпюры давления, которая представляет собой график изменения давления в зависимости от глубины. Эпюру гидроста­тического давления строят по формуле гидростатического давления в точке. Объем эпюры равен силе гидростатического давления на плоскую поверхность. Сила проходит через центр тяжес­ти эпюры, положение которого для трапецеидальной эпюры давления на прямоугольную стенку может быть определено графически или по формулам:

При треугольной эпюре давления на прямоугольную стенку сила проходит на расстоянии 2/ЗH от вершины эпюры.

Примеры

2.11. Две вертикальные трубы центрального отопления соединены горизонтальным участком, на котором установлена задвижка диаметром d=0,2 м. Температура воды в правой вертикальной трубе , а в левой. Найти разность сил суммарного давления на задвижку справа и слева . Высота воды в вертикальных трубах над уровнем горизонтальной трубы h=20м.

Решение. Плотность воды при температуре найдем из табл. П-4

,

а при температуре

.

Сила суммарного давления на диски задвижки справа и слева составит

.

Разность сил суммарного давления равняется

.

Ответ:

2.12. Определить силу суммарного давления воды на плоский щит, перекрывающий канал, и усилие, которое необходимо приложить для подъёма щита если ширина канала b=1,8м, глубина воды в нём h=2,2м, вес щита G=15кН. Коэффициент трения щита по опорам f=0,25.

Решение. Силу суммарного давления на щит определяем по формуле:

.

Построим эпюру избыточного гидростатического давления. В точке В гидростатическое давление составит

.

Отложим от точки В в направлении, перпендикулярном щиту, величину (со стороны действия давления) и соединим начало полученного вектора (точку С) с точкой А. Полученный треугольник АВС - это и есть эпюра гидростатического давления.

По эпюре гидростатического давления определим силу суммарного давления на щит, равную объёму этой эпюры

.

Полученная формула одинакова с ранее написанной. Подставляя в эту формулу заданные величины, находим

.

Усилие, необходимое для подъёма щита, найдем по зависимости

.

Ответ: ;.

2.13. Построить эпюру гидростатического давления на ломаную стенку резервуара и определить силы суммарных давлений и точки их приложения на участок ломаной стенки АВС шириной 1м, если ; ; .

Решение. Найдем избыточное гидростатическое давление :

в точке А

;

в точке В

.

Для построения эпюры гидростатического давления на стенку СВ из точки В в направлении, перпендикулярном стенке СВ, откладываем в масштабе . Полученную точку (со стороны действия давления) соединяем с точкой С. Для построения эпюры гидростатического давления на стенку АВ из точек А и В в направлениях, перпендикулярных стенке АВ, откладываем в масштабе значения давлений. Полученные точки соединяем между собой.

Абсолютные давления в точках С, В и А равны

в точке С

;

в точке В

;

в точке А

.

Эпюры абсолютных давлений построены путём увеличения давления в каждой точке на ( в принятом масштабе ).

Сила суммарного давления на стенку АВ составит

,

а глубина погружения точки её приложения (центр давления) равняется

.

Сила суммарного давления на стенку ВС

,

а глубина погружения точки её приложения

.

Ответ: ; ; ; .

2.14. Щит, перекрывающий канал, расположен под углом к горизонту и закреплён шарнирно к опоре над водой. Определить усилие, которое необходимо приложить к тросу для открывания щита, если ширина щита b=2м, глубина воды перед щитом , а после щита . Шарнир расположен над высоким уровнем воды на расстоянии .Весом щита и трением в шарнире можно пренебречь.

Решение. Сила суммарного давления воды на щит составляет

слева

;

справа

.

Расстояния от шарнира до центров приложения найденных сил давления соответственно равны

,

.

Составим уравнение моментов сил относительно шарнира О:

.

Так как ,то .

Следовательно, величина усилия Т составит

.

Ответ: .

2.15. Определить величину² и точку приложения силы гидростати­ческого давления воды на вертикальный щит шириной b = 2 м, если глубина воды перед щитом H = 2,7 м.

Решение. Сила давления воды на щит

Расстояние точки приложения этой силы от свободной поверхности воды

Ответ: .

2.16. На какой глубине должна находиться опора щита , чтобы при он открывался автоматически, если ; угол . Указание: весом щита пренебречь.

Решение. Опора щита должна находиться в точке приложения равно­действующей силы давления воды на щит. Расчет производим на 1 м ширины щита. Предварительно вычисляем

Равнодействующая сил давления воды на 1 м ширины щита представляет собой объем эпюры давления (на рисунке за­штрихован) .

Для упрощения вычислений разде­лим эпюру на две части треугольную и прямоугольную. Объем треугольной части эпюры

Объем прямоугольной части эпюры

Равнодействующая сил давления

Координату центра давления у_д найдем из условия, что момент равнодействующей Р относительно точки А равен сумме моментов составляющих относи­тельно той же точки:

Отсюда

Эта задача может быть решена графически. Для этого графически находят положение центра тяжести С равнодействующей Р эпюры давления, которая про­ходит через центр тяжести эпюры С перпендикулярно к плоскости щита. На рисунке это построение выполнено дополнительными линиями.

Ответ:

2.17. Вертикальный щит, перегораживающий прямоугольный канал шириной изготовлен из пяти досок шириной . Определить толщину доски, считая допускаемое напряжение для дерева . Глубина воды в канале .

Решение. Будем рассматривать наиболее нагруженную нижнюю доску. При­нимаем давление на каждую единицу площади нижней доски одинаковым: . Нижняя доска работает как балка на двух опорах пролетом b = 0,8 м, на кото­рую действует равномерно распределенная нагрузка , где  – ширина доски. Тогда:

.

Изгибающий момент посредине пролета

Толщину доски определяем из условия прочности ее на изгиб

где - момент сопротивления;

t - толщина доски;

Ответ:

2.18. Определить силу давления воды на дно сосуда и на каждую из четырех опор.

Решение. 1) Избыточное давление воды в точке А

2) Так как все точки дна находятся на одной глубине, то давление в них одинаково, а сила давления воды на дно

Эта сила является внутренней.

3) На опоры действует внешняя сила – сила тяжести воды

где W – объем воды в сосуде.

Тогда

На каждую из четырех опор передается сила

Ответ: кН; кН.

2.19. Проверить устойчивость плотин на опрокидывание при трех различных соотношениях между удельным весом кладки и удельным весом воды:

Решение. 1) Расчет бу­дем вести на 1 м ширины пло­тины. Подсчитаем коэффициент устойчивости для первого вари­анта плотины (а). Удерживающими силами для него являются:

- вес кладки

- вес столба воды над плотиной (треугольная призма)

Опрокидывающей силой является горизонтальная составляющая силы гидростатического давления воды

Удерживающий момент состоит из моментов сил G_в и G_к относительно воз­можной точки опрокидывания А

Опрокидывающий момент

Коэффициент устойчивости

2) Для второго варианта (б) получаем:

3) Сравнивая и , видим, что более устойчивой является плотина, выполненная по первому варианту; при оба варианта равноустойчивы; при более устойчивой является плотина, выполненная по второму варианту.