3. Малые колебания при взаимодействии двух биологических популяций.

Пусть на одной и той же территории проживают две биологических популяции с численностями и , причем первая растительноядная, а вторая употребляет в пищу представителей первой популяции. Скорость изменения определяется скоростью убывания благодаря соседству со второй популяцией

, (1)

где , , член описывает вынужденное убывание (естественной смертностью популяции пренебрегаем).

Численность второй популяции растет тем быстрее, чем больше численность первой популяции, а при ее отсутствии уменьшается со скорость, пропорциональной численности (тем самым ее рождаемость не учитывается, как эффект насыщения):

, (2)

где , .

Очевидно, что система находится в равновесии при и , когда . Рассмотрим малые отклонения системы от равновесных значений, т.е. представим решение в виде , , , . Подставляя и в уравнения (1) и (2), получим, отбрасывая члены более высокого порядка малости,

, (3)

. (4)

Дифференцируя (3) по подставляя в полученное уравнение функция , определяемую из (4), придем к уравнению

.

Следовательно, в системе происходят малые колебания численности с частотой , зависящей только от коэффициентов рождаемости и смертности и . Нужно заметить, что величина подчиняется такому же уравнению, причем если отклонение равно нулю в начальный момент , то имеет максимальную амплитуду, и наоборот. Эта ситуация, когда численности и находятся в противофазе, воспроизводится для всех моментов , ( - период колебаний) и отражает запаздывание реакции численности одной популяции на изменение численности другой.

4. Заключение.

Построенные модели в одних случаях основаны на точно известных законах, в других – на наблюдаемых фактах, либо на аналогиях, либо на правдоподобных представлениях о характере объекта. Хотя и сущность рассматривавшихся явлений, и подходы к получению отвечающих им моделей совершенно различны, построенные модели оказались идентичны друг другу. Это свидетельствует о важнейшем свойстве математических моделей – их универсальности, - широко используемом при изучении объектов самой различной природы.

Лекция №5.

Сохранение массы вещества

На основе сохранения баланса массы вещества и некоторых дополнительных соображений построим модели потока невзаимодействующих частиц и движения грунтовых вод в пористой среде.

1. Поток частиц в трубе.

В цилиндрической трубе с поперечным сечением движутся частицы вещества (пылинки, электроны) (рис. 1.1).

Рис.1.1

Скорость их движения вдоль оси , вообще говоря, изменяется со временем. Например, заряженные частицы могут ускоряться или замедляться под действием электрического поля. Для построения простейшей модели рассматриваемого движения введем следующие предположения:

а) частицы между собой не взаимодействуют (не сталкиваются, не притягиваются и т.д.). Для этого, очевидно, плотность частиц должна быть достаточно малой (в этом случае, заряженные частицы не только не сталкиваются, но и не оказывают друг на друга влияния из-за большого расстояния между ними);

б) начальная скорость всех частиц, находящихся в одном и том же поперечном сечении с координатой , одинакова и направлена вдоль оси ;

в) начальная плотность частиц также зависит только от координаты ;

г) внешние силы, действующие на частицы, направлены вдоль оси .

Предположение а) означает, что скорость частиц может изменяться лишь под действием внешних сил, предположения б) - г) обеспечивают одномерность процесса переноса, т.е. зависимость искомой плотности потока частиц только от координаты и времени .

Итак, по заданной начальной плотности , необходимо найти плотность частиц в любой момент времени для любых (скорость движения задана). Прибегнем к закону сохранения массы, подсчитав баланс вещества в малом элементе трубы от до за время (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Слева в элементарный объем входит количества вещества с массой, равной

, ,

где - объем вошедшего за промежуток времени вещества.

Через правое сечение за то же время выходит масса, равная

, ,

т.е. суммарное изменение массы равно

.

В силу малости промежутка скорость считается постоянной. Величины , - средние по времени значения плотности в сечения и . Другой способ подсчета изменений в фиксированном объеме очевиден из смысла величины :

, ,

где и - средние по пространству значения плотности по и .

Приравнивая оба полученные для выражения и устремляя и к нулю, приходим к уравнению для , отвечающему закону сохранения массы,

, , , (1)

с начальным условием

, . (2)

Величина (поток вещества или поток массы) равна количеству вещества, проходящему в единицу времени через единичную поверхность поперечного сечения трубы. Как видно из (1), скорость изменения плотности вещества со временем в любом сечении определяется «скоростью» изменения потока вещества по координате . Схожим свойством обладают многие модели, отвечающие законам сохранения и описывающие совсем другие процессы.

В случае постоянной скорости приходим к простейшему линейному уравнению в частных производных

, , . (3)

Его общее решение нетрудно найти, приняв во внимание, что уравнение (3) имеет характеристики – линии , на которых значения искомой функции постоянны во времени, т.е. , или, в эквивалентной записи,

, .

Выбирая , получим

. (4)

Интеграл (4) является общим решением уравнения (3). Из формулы (4) и начальных данных (2) легко найти искомую функцию, причем она зависит не по отдельности от переменных , а от их комбинации (бегущая волна). Пространственный профиль плотности без искажений переносится вдоль потока (рис. 1.3) с постоянной скоростью (уравнение (3) называют также уравнением переноса).

Рис. 1.3

Это основное свойства решения уравнения (3) несколько модифицируется в случае, когда скорость частиц зависит от времени - профиль плотности переносится за равные промежутки времени на разные расстояния. Если по каким-то причинам скорость потока зависит от плотности (), то уравнение (1) становится нелинейным и поведение его решения может иметь качественно иной характер.