6. Уравнения касательной и нормали

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке M(x_0, y₀) имеет вид

,

а уравнение нормали в той же точке ,

где y₀ = f (x₀).

Пример 8. Найти площадь треугольника, образованного прямой y = y₀ +1, касательной и нормалью, проведёнными к графику

функции y = x³ + 2x² – x + 1 в точке с абсциссой x₀ = 1 и ординатой y₀ .

Решение. Найдём ординату y₀ точки касания и :

;

; .

Уравнением касательной является y = 3 + 6(x – 1) или 6x – y – 3 = 0. Уравнение нормали имеет вид или x + 6y – 19 = 0. Найдём координаты точек А и В (см. рисунок) прямой .

Вычислим длины катетов АС и ВС прямоугольного треугольника АВС:

,

.

По этим данным найдём искомую площадь

7. Дифференциал первого порядка

Придадим аргументу x в точке x₀ приращение , функция y = f(x) получит приращение . Если существует число А, такое что

, (6)

то говорят, что f(x) дифференцируемая в точке x₀; линейная часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке x₀ и обозначается или (или просто df , dy). Если x – независимое переменное (т.е. не зависит от других переменных), то полагают .

Теорема 2. Функция f(x) дифференцируема в точке x₀ в том и только в том случае, если f(x) имеет производную в этой точке. При этом .

Если в равенстве (6) отбросить бесконечно малую величину , то получим приближённое равенство

,

которое применяется для нахождения приближённого значения функции.

8. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора

Дифференциалом второго порядка d²f(x) функции называется дифференциал от дифференциала , где рассматривается как функция от x: d²f = d(df). Дифференциалом третьего порядка d³f называется дифференциал от второго дифференциала: d³f = d(d²f) и т.д.

Если переменная x является независимой, то d²x = d³x = … = 0. В этом случае , ,..., ,… Для краткости вместо (dx)ⁿ принято писать dxⁿ; с учётом этого .

Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и в этой окрестности имеет производные до (n+1) -го порядка включительно (т.е. дифференцируема (n+1)   раз), то справедлива формула Тейлора

,

где R_n+1 (x) – остаточный член, являющийся бесконечно малой величиной при x  x₀. Остаточный член обычно записывают в виде

,

в форме Пеано или в форме Лагранжа

,

где с – некоторое число между x₀ и x. Формула Тейлора допускает и другую запись через дифференциалы

.

Формулу Тейлора применяют для приближенных вычислений.

9. Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталя

Теорема 3. Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в каждой точке некоторой окрестности точки x₀, кроме, может быть, самой точки x₀, и пусть . Если =0 или и существует , то .

Эта теорема, называемая правилом Лопиталя, применяется для раскрытия неопределённостей вида или .

Неопределённости вида или несложным алгебраическим преобразованием приводятся к неопределённостям вида или .

Неопределённости вида приводятся к неопределённости вида с помощью предварительного логарифмирования или тождества .

Пример 9. Применяя правило Лопиталя, найти пределы:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

Решение.  а) Первый способ. При x1 числитель и знаменатель стремятся к 0, поэтому имеем неопределённость вида . Воспользуемся правилом Лопиталя:

.

Второй способ. Неопределённость можно раскрыть и с помощью формулы Тейлора. Обозначим , . Эти функции определены и дифференцируемы в окрестности точки x₀ = 1. Имеем , , , , , . Согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, имеем

или

, .

Поэтому

.

б) Имеем неопределённость вида . В данном случае приходится трижды применять правило Лопиталя:

.

в) Имеем неопределённость вида . Обозначим. Тогда ,

. Таким образом, , откуда, ввиду непрерывности логарифмической функции, , т. е. .

г) Воспользуемся тождеством , 0<x</2. Ввиду непрерывности показательной функции,

Найдём :

.

Итак, .

д) Имеем неопределённость вида . Переведём эту неопределённость в неопределённость вида и затем воспользуемся правилом Лопиталя:

.

А так как

,

то .

Задание 5.1

Используя определение производной, найдите производную функции.

1) y = x sin (2x + 3);	16) y = (x + 3) lnx;
2) y = (4x – 1) ln (2x);	17) ;
3) y = cos (2x2 + x +1);	18) y = 4x e3x;
4) ;	19) y = e4x sin 2x;
5) y = x e4x ;	20) ;
6) y = ex sin3x;	21) y = (2x2 – x +2) sinx;
7) ;	22) y = x cos (3x – 1);
8) y = (x2 + 3x +1) sinx;	23) ;
9) y = cos (x2 – x +2);	24) y = e3x cosx;
10) y = 3x cos (x + 4);	25) y = (3x2 + x +1) cosx;
11) ;	26) y = (x2 – 2x +3);
12) y = e2x cos4x;	27) y = x sin (4x + 3);
13) y = (x2 – x + 2) cosx;	28) y = (3x – 1) ln 2x;
14) y = sin (x2 + 3x +2);	29) ;
15) y = 4x sin (x – 2);	30) y = 2x e4x .