Найпростіші дії з матрицями

Найпростішими діями з матрицями називають множення матриць на число, їх алгебраїчну суму та множення матриць.

Добутком матриці А на число к називається матриця, елементи якої дорівнюють добуткам відповідних елементів матриці А та числа к:

(1)

Додавати та віднімати можна лише матриці однакового розміру!!!

Алгебраїчною сумою матриць А та В однакового розміру mxn називається матриця С розміру mxn, елементи якої дорівнюють такої самої алгебраїчної суми елементів a_ij та в_ij матриць А та В:

Наприклад,

якщо , , тоді

Добуток АВ матриць А та В існує лише при виконанні умов узгодженості: кількість стовпців матриці А (першого множника) дорівнює кількості рядків матриці В (другого множника).!!!

Добутком АВ матриці А розміру m х n і матриці В розміру n х р називається матриця С розміру m х р, елементи якої с_ij дорівнюють сумі добутків елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В. Таким чином, кожен елемент матриці С знаходиться за формулою:

cij=ai1∙в1j+ ai2∙в2j+ ai3∙в3j+…+ ain∙вnj

(2)

Зауваження 1. Взагалі добуток матриць не має властивості комутативності, тобто АВ≠ВА. Якщо добуток двох матриць не залежить від порядку множників, тобто АВ = ВА, тоді кажуть, що ці матриці комутують.

Наприклад, якщо А - квадратна матриця порядку n, Е - одинична матриця порядку n, тоді АЕ = ЕА = А.

Приклад 2 Задані матриці

Знайти існуючі добутки цих матриць.

Розв'язання.

У даному випадку згідно умови узгодженості існування добутку матриць, існують лише наступні добутки матриць: АХ (кількість стовпців першого множника - 4 дорівнює кількості рядків другого множника); ВС, СВ, ВА, СА.

Знайдемо вказані добутки матриць, використовуючи означення добутку матриць.

розміри: 3х4 4х1 3х1

(3)

(4)

Відмітимо, що з рівностей (3) та (4) випливає, що матриці В і С не комутують.

Аналогічно можна знайти і добуток СА.

Зауваження 2. Ділення матриць розглядають як добуток

АхВ^-1, де В^-1 - матриця, обернена до матриці В. Визначення та способи знаходження матриці В^-1 розглянемо пізніше, після введення нових необхідних понять.

Зауваження 3. У випадках великого розміру матриць та їх елементів для дій з матрицями використовують комп'ютерну техніку.

Приклади розв’язання типових задач.

1. Знайдіть добуток матриць АВ, якщо

,

Розв’язання. Оскільки кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В, тобто матриці узгоджені, то операція множення АВ має сенс і добуток матриць обчислюємо так:

=

=.

2. Знайдіть , якщо ,

Розв’язання. Необхідно знайти значення виразу

Маємо

;

;

;

.

Відповідь: .

Самостійна робота №1

1.1. Знайдіть матриці: 1) ; 2) ;

3) ; 4) ; 5) ; 6) .

1.2. Знайдіть добуток матриць:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

1.3. Знайдіть добуток АВ і ВА:

1) , ; 2) , ;

3) , ; 4) , .

1.4. Обчисліть степені квадратних матриць:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) .

1.5. Обчисліть АВ-ВА, якщо: , .

1.6. Знайдіть матрицю АВ-3ВА+4Е, якщо:

, .

1.7. Дано матриці: , , ,

; , .

Знайдіть: 1) А+В; 2) ВА; 3) АВ; 4) 3В²-2В; 5) ДМ; 6) ДМ-2Е;

7) МА; 8) СК-Д; 9) 2А+Е; 10) ВС.

1.8. Знайдіть , якщо:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) , ;

11) , ;

12) , ;

13) , ;

14) , ;

15) , ;

16) , ;

17) , ;

18) , ;

19) , ;

20) , ;

21) , ;

22) , ;

23) , ;

24) , ;

25) , .

----------------------------------------------------------------------------------------------------