Вопрос 11
Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.
Уравнение вида
(1)
называется общим уравнением прямой.
Угол
,
определяемый, как показано на рис.,
называется углом наклона прямой к оси
Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси
Ох называется угловым коэффициентом
прямой; его обычно обозначают буквой
k:
Уравнение
называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом;
k - угловой коэффициент, b - величина
отрезка, который отсекает прямая на оси
Оу, считая от начала координат.
Если прямая задана общим уравнением
,
то ее угловой коэффициент определяется по формуле
.
Уравнение
является
уравнением прямой, которая проходит
через точку
(
,
)
и имеет угловой коэффициент k.
Если
прямая проходит через точки
(
,
),
(
,
),
то ее угловой коэффициент определяется
по формуле
.
Уравнение
является
уравнением прямой, проходящей через
две точки
(
,
)
и
(
,
).
12.Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Если уравнения прямой заданы в общем виде
A1x + B1y + C1 = 0,
A2x + B2y + C2 = 0, (6)
угол между ними определяется по формуле
(7)
4. Условия параллельности двух прямых:
а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:
k1 = k2. (8)
б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.
(9)
5. Условия перпендикулярности двух прямых:
а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.
Вопрос 13
Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.
Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее нормальным вектором. Уравнение
(1)
определяет
плоскость, проходящую через точку
и
имеющей нормальный вектор
.
Раскрывая
в уравнении (1) скобки и обозначая число
буквой
D, представим его в виде
.
Это уравнение называется общим уравнением плоскости.
Вопрос 12
Всякую
плоскость в пространстве можно задать,
указав какую – ни будь ее точку
и
два произвольных приложенных к этой
точке неколлинеарных вектора:
и
.
Прилагая
векторы
и
к
точке
,
получим всевозможные закрепленные
векторы вида
,
где
-
произвольные вещественные числа; концы
этих
векторов и заполняют плоскость, проходящую
через точку
и
два приложенных к ней вектора
.
В координатной форме уравнение (3) записывается так:
(4)
(4) – параметрическое уравнение плоскости.
Уравнение (4) выражают линейную зависимость столбцов матрицы
Что эквивалентно равенству:
(5)
Пример.
Найти уравнение плоскости, проходящей
через три данные точки:
;
;
.
Решение.
Искомая плоскость содержит точку
и
неколлинеарные векторы:
и
,
следовательно, ее уравнение можно
записать в виде (5):
Если все коэффициенты уравнения (1) отличны от нуля, тогда его можно записать в виде:
Или
(6)
Где
;
;
.
(6)
– уравнение плоскости в отрезках, т.к.
числа
-
алгебраические значения отрезков,
отсеченных плоскостью (1) на
осях
координат