7.3. Структура частного решения лнду с аддитивной правой частью.
Наряду с рассмотренными в7.2. решениями (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами встречаются такие (ЛНДУ), где правая часть аддитивна, т.е. является суммой двух или нескольких функций разного вида.
.
Теорема 1:
Если
-
частное решение (ДУ)
,
а
-
частное решение (ДУ)
,
то
является частным решением (ДУ)
.
Таким образом, решение ЛНДУ с аддитивной правой частью можно представить схематично (рис.2).
-
по ви-
ду
правой части
-
общее решение ЛОДУ
а)
б)
а)
-
частное решение б)
-
частное решение
для
для
Общее решение
ЛОДУ:
.
Рис. 2. Общая схема решения ЛНДУ методом неопределенных коэффициентов с аддитивной правой частью.
Пример 8. Найти общее решение ДУ:
.
Решение.
-
Найдем общее решение соответствующего ЛОДУ:
.
Характеристическое
уравнение
.
Его корни
.
Общее решение ЛОДУ:
.
-
Правая часть ЛНДУ
.
сумма 2-х функций.
Тогда структура
частного решения:
.
Рассмотрим отдельно
и
в соответствии с общей схемой (2).
соответствует I
виду
(т.к.
не совпадает ни с
,
ни с
,
).
соответствует
1-му случаю I
вида правой части
(т.к.
не совпадает ни с
,
ни с
,
то
).
Частное решение
по
своему общему виду такое же, как и правая
часть
,
но с неопределенными коэффициентами:
.
-
Найдем неизвестные коэффициенты
.
Для этого подставим в данное ДУ
.
Предварительно найдем их, а затем
умножим соответственно на 2,3, и 1:
Сложим соответственно
левые и правые части этих равенств,
получим алгебраическое уравнение с
неизвестными
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях соответственно левой и правой частей уравнения:
.
-
Подставим
в общий вид
:
.
-
Найдем общее решение ЛНДУ:
.
Ответ:
.
Примеры для самостоятельной работы.
Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных:
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
Решить дифференциальное уравнение методом неопределенных коэффициентов:
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
7.11.
7.12.
7.13.
7.14.
7.15
7.16.
Решить дифференциальное уравнение с аддитивной правой частью:
7.17.
7.18.
7.19.
7.20
7.21.
Ответы:
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
7.6.
7.7.
7.8.
7.9.
7.10.
7.11.
7.12.
7.13.
7.14.
7.15.
7.16.
7.17.
7.18.
7.19.
7.20.
7.21.
