§ 5. Векторные пространства.

Пример 1. Доказать, что следующее множество образует векторное пространство над полем относительно операций сложения матриц и умножения матриц на число.

Найти его базис и размерность.

.

Решение. является непустым подмножеством пространства матриц размерности . Докажем, что является подпространством в , пользуясь критерием подпространства. Пусть

и

произвольные матрицы из . Рассмотрим их сумму

.

Очевидно . Произведение на любое число

также принадлежит . Итак, является подпространством пространства , а значит, само является пространством.

Найдем базис этого пространства.

Ясно, что в базис можно включить, например,

, так как .

Так как , то нельзя получить в виде . Поэтому в качестве второго базисного вектора можно взять . Рассмотрим вектор . Его нельзя представить в виде линейной комбинации и , так как . Поэтому в качестве третьего базисного вектора возьмем . Всякий другой вектор можно представить в виде линейной комбинации .

.

Следовательно, система векторов является системой образующих пространства . По построению, эта система линейно независима. Значит, она является базисом.

Пример2. Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой. Найти коэффициенты линейной зависимости.

Решение. Пусть , где — некоторые числа. Подставляем в это равенство векторы .

.

После выполнения операции над векторами получаем

, откуда

Эту систему линейных уравнений решаем методом Гаусса:

.

Получилась трапецеидальная система уравнений. Она является неопределенной и потому имеет ненулевые решения (кроме нулевого). Таким образом, система линейно зависима. Найдем коэффициенты линейной зависимости. Для этого решаем однородную систему линейных уравнений, приведенную к трапецеидальному виду

Общее решение этой системы имеет вид .

Найдем частное решение, придавая произвольное значение, отличное от нуля, например, -3. Получим . Таким образом, . Очевидно, коэффициенты линейной зависимости определяются неоднозначно.

Пример 3. Найти какую-нибудь максимальную линейно независимую подсистему данной системы векторов, а остальные векторы выразить через нее.

Решение. Составим матрицу , столбцами которой являются данные векторы, и найдем ее ранг. Будем делать элементарные преобразования только над строками.

Первую строку, умноженную на соответствующие числа -2, -1, -3, прибавили ко второй, третьей, четвертой. Третью строку, умноженную на соответствующие числа -2, -4, прибавили ко второй и четвертой. И наконец, третью, умноженную на 2, прибавили к четвертой. Так как минор третьего порядка

Отличен от нуля, а определитель четвертого порядка равен нулю, то ранг последней матрицы, а значит, ранг матрицы равен 3. Отсюда следует, что ранг данной системы равен 3.

Три вектора входят в максимальную линейно независимую подсистему данной системы. Очевидно, что это векторы .Действительно, выразим вектор через : . Подставим в это уравнение выражения векторов . После выполнения операций над векторами получим: . Приравнивая соответствующие координаты, получим систему линейных уравнений:

.

Решаем эту систему методом Гаусса. Составим расширенную матрицу

.

Эта матрица совпадает с матрицей . Так как мы проделываем элементарные преобразования над строками матрицы , то эта система эквивалентна системе линейных уравнений, соответствующей последней матрице:

, то есть системе , откуда , а следовательно, .

Пример 4. Векторы заданы своими координатами в некотором базисе . Показать, что векторы сами образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Так как система любых трех линейно независимых векторов является базисом 3-мерного пространства, то достаточно доказать, что система линейно независима. Для этого составим матрицу , столбцами которой являются координаты векторов , и найдем ее ранг.

.

Определитель этой матрицы , а значит, по теореме о ранге, ранг матрицы равен 3, что доказывает линейную независимость системы . Таким образом, образуют базис и -матрица перехода от базиса к базису . Для нахождения координат вектора в базисе воспользуемся формулой преобразования координат, приведенной в :

, где — матрица перехода от базиса к базису ; — координаты вектора в базисе ; — координаты вектора в базисе . Так как здесь

, то ,

Откуда , то есть .

Пример 5. Найти размерность и базис линейного подпространства, натянутого на векторы

Решение. Базис линейного подпространства совпадает с максимальной линейно независимой подсистемой системы векторов (доказать!). Найдем эту подсистему, для чего составим матрицу, столбцами которой являются векторы .

.

Найдем базисный минор этой матрицы. Так как минор второго порядка , то рассмотрим минор 3-го порядка, его окаймляющий

.

Теперь рассмотрим минор 4-го порядка, окаймляющий минор 3-го порядка, отличный от нуля. Это определитель матрицы .

.

Он равен нулю. Значит, является базисным минором, то есть минором наибольшего порядка, отличным от нуля. А тогда образуют максимальную линейно-независимую подсистему системы и тем самым образуют базис рассматриваемого подпространства, причем размерность подпространства равна 3.

Пример 6. Определить размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.

Решение. Множество всех решений однородной системы линейных уравнений образует векторное пространство размерности , где — число неизвестных системы, а — ранг матрицы этой системы. Базис образует система из любых линейно независимых частных решений. Такая система решений называется фундаментальной. Находим общее решение системы методом Гаусса, для чего составляем матрицу системы:

.

Ранг матрицы равен трем. Следовательно, размерность пространства решений равна 2 . Данную систему уравнений заменим эквивалентной системой:

В качестве свободных неизвестных можно взять . Тогда

Общее решение системы имеет вид . Находим два линейно независимых частных решения. Для их нахождения мы два раза придаем и произвольные значения, но так, чтобы определитель второго порядка, составленный из этих значений, был отличен от нуля. Положим , а затем и найдем

Мы получим один из базисов пространства решений данной однородной системы уравнений.

Пример 7. Найти базис и размерность пересечения подпространств и , натянутых на системы векторов и соответственно, если векторы заданы координатами в некотором базисе пространства.

Решение. Вектор тогда и только тогда, когда линейно выражается через и через . А для этого необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы

был равен рангу матрицы

и ранг матрицы

был равен рангу матрицы

.

Выберем базисные миноры

и

матриц и соответственно. Для того, чтобы и , необходимо и достаточно, чтобы был базисным минором в , а — в . Приравнивая нулю все миноры и , окаймляющие соответственно и , содержащие столбец и имеющие порядок на единицу выше, чем и , получим систему линейных уравнений.

Решаем эту систему методом Гаусса.

. Общее решение имеет вид . Фундаментальная система состоит из одного вектора . Следовательно, вектор образует базис подпространства .

Литература: 3 — §17, 18

5 — №№ 608-613, 624-626, 636-650, 652-655, 661-669, 672, 674, 681, 689-695, 702-704, 712-714, 724-727, 1277-1293, 1296-1305, 1309-1311, 1317, 1318, 1320, 1321.

Контрольная работа 2

Найти значение многочлена и всех его производных в точке .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Найти рациональные корни и определить их кратность.

7.

8.

9.

10.

11. .

12. .

Разложить на неприводимые множители над полем .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

Найти каноническое разложение многочлена над полем путем отделения кратных корней.

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

Найти значение симметрического многочлена на корнях многочлена .

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Доказать, что следующее множество образует векторное пространство над полем . Найти его базис и размерность.

31. .

32. .

33. .

34. .

35. .

36. .

Выяснить, является ли система векторов линейно зависимой. Найти коэффициенты линейной зависимости.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

Найти какую-нибудь максимальную независимую подсистему данной системы векторов, а остальные векторы выразить через нее.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе . Показать, что векторы сами образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.

55. 57.

56. 58.

59. 60.

Найти базис пересечения подпространств и , натянутых на векторы и соответственно, если все векторы заданы своими координатами в некотором базисе пространства.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

ЛИТЕРАТУРА

1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 6-е изд. М., 1971.

2. Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Часть I. Минск, 1984.

3. Милованов М.В., Толкачев М.М., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. Алгебра и аналитическая геометрия. Часть 2. Минск, 1981.

4. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. 3- изд. М.: Наука, 1974.

Учебное издание

ЖИГОТА АЛЛА ЭДУАРДОВНА

Методические указания и контрольные работы

по курсу «Алгебра и теория чисел»