Асимптоты гиперболы

Опр.: Прямая l называется асимптотой кривой с, если расстояние от точек кривой до прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точек по кривой.

Покажем, что прямые являются асимптотами гиперболы.

Эксцентриситет гиперболы, фокальные радиусы гиперболы

Опр.: Эксцентриситет гиперболы – отношение фокусного расстояния к действительной оси.

Парабола

Опр. Парабола – геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от данной точки - фокуса и от данной прямой - директрисы.

y

N M(x,y)

B() 0 x F()

Пусть p - расстояние от фокуса до директрисы, т.е. BF=p, тогда, если ось ординат проходит через середину BF,то т.F имеет координаты () , а т.B().

Обозначим FM=r, a NM=d

Т.к. y входит в уравнение в четной степени, то график функции симметричен относительно OX.

Если х=0, у=0

Если

p>0, ветви вправо

p<0, ветви влево

- уравнение параболы

Общие свойства кривых второго порядка

Отношение расстояний от произвольной точки кривой второго порядка до фокуса и до соответствующей директрисы равно эксцентриситету.

Доказательство:

r – расстояние до соответствующего фокуса

d – расстояние до соответствующей директрисы

Первый случай для эллипса.

(т.М - произвольная)

Второй случай для гиперболы.

(т.М - произвольная)

Третий случай для параболы.

Приведение общего уравнения второго порядка к каноническому виду

Ax²+2Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0

1. если,то кривая центральная, (эллиптического или гиперболического вида);

2.если , то кривая не центральная (параболического вида);

Приведение к каноническому виду состоит в применении формул преобразования координат, т.е. параллельный перенос и поворот осей координат на .

Общим методом для кривых второго порядка является:

1) совершить поворот осей координат;

2) затем параллельный перенос.

Совершим поворот осей координат:

Подберем угол поворота такой, чтобы исчез член, содержащий , для этого приравниваем нулю коэффициент при :

Совершим параллельный перенос, применяя формулы параллельного переноса:

Подберем a и b такие, чтобы исчезли члены со штрихами:

Найденные значения подставим в свободный член, получим:

Возможны следующие варианты:

Замечание:

1. Если кривая центральная, т.е. , то лучше сначала сделать паралельный перенос, затем поворот осей координат.

2. Если кривая не центральная , то лучше сначала сделать поворот осей координат, потом параллельный перенос.