2. Уравнения первого рода

. (6.8)

Теорема 2. Если в уравнении (6.8) ядро и свободная функция f(x) непрерывные функции при то уравнение (6.8) имеет единственное непрерывное решение при дополнительных условиях и что Это решение может быть найдено методом последовательных приближением сведением к интегральному уравнению Вольтерра второго рода после -кратного дифференцирования .

Доказательство. Продифференцируем уравнение (6.8)

. (6.9)

Если , то деля равенство (6.9) на этот множитель получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода

, (6.10) решение которого существует и при том единственное по теореме 1.

Если , то дифференцируя равенство (6.10) и поделив полученное равенство на , при условии , получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода. Аналогично поступаем и в случае если что

Пример 6. Найти решение интегрального уравнения первого рода

Решение. Дифференцируя данное уравнение найдём

и к полученному интегральному уравнению Вольтерра второго рода

применим метод последовательных приближений.

Выпишем рекуррентную формулу

и приняв за начальное приближение , вычислим

.

Далее находим

, ,

, ,

и так далее.

Выпишем последовательность полученных приближений к искомому решению

или для данной задачи имеем

.

Нетрудно заметить, что пределом найденной числовой последовательности является число равное 1, следовательно искомая функция постоянна и равна единице.

Ответ: .

Сделаем проверку подставив решение в исходное уравнение

, .

Найденное решение удовлетворяет уравнению.

§7. Интегральные уравнения Вольтерра с вырожденными ядрами

1. Уравнения Вольтерра второго рода

2. 

. (7.1)

Введем обозначения

, . (7.2)

Тогда уравнение (7.1) перепишется

. (7.3)

Дифференцируя равенство (7.2)

и учитывая равенство (7.3), придем к системе линейных дифференциальных уравнений для определения функции

(7.4) с начальными условиями .

Если удастся найти решение системы (7.4) с этими начальными условиями, то решение интегрального уравнения (7.1) определиться по формуле (7.3) или с помощью любого из выражений

,

которое получается дифференцированием формул (7.2).

Пример 7. Решим уравнение

Решение. При из данного уравнения найдём начальное условие для дифференциального уравнения

,

откуда находим

.

Подставив полученное выражение для интеграла в исходное уравнение придем к дифференциальному уравнению

По формуле решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка находим общее решение

.

Определить значение при из общего решения не удается. Тогда воспользуемся значением при производной и продифференцировав общее решение

,

при значениях и найдём .

Ответ:

Проверим, что найденная функция удовлетворяет исходному уравнению

т. е.имеем тждество