-
Что изучает алгебра логики и кто разработал ее законы?
Создатель алгебры логики — английский математик Дж. Буль(1815-1864).
Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается (т. н. бинарная или двоичная логика), что высказывания могут быть только истинными или ложными.
Законы алгебры логики базируются на аксиомах и позволяют преобразовывать логические функции. Логические функции преобразуются с целью их упрощения, а это ведет к упрощению цифровой схемы.
АКСИОМЫ алгебры логики описывают действие логических функций "И" и "ИЛИ" и записываются следующими выражениями:
|
0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1 |
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 |
Всего имеется пять законов алгебры логики:
1. Закон одинарных элементов
1 * X = X
0 * X = 0
1 + X = 1
0 + X = X
Этот закон непосредственно следует из приведённых выше выражений аксиом алгебры логики.
2. Законы отрицания
a. Закон дополнительных элементов.
Выражения этого закона широко используется для минимизации логических схем. Если удаётся выделить из общего выражения логической функции такие подвыражения, то можно сократить необходимое количество входов элементов цифровой схемы, а иногда и вообще свести всё выражение к логической константе.
a. Двойное отрицание
b. Закон отрицательной логики
Закон отрицательной логики справедлив для любого числа переменных. Этот закон позволяет реализовывать логическую функцию "И" при помощи логических элементов “ИЛИ” и наоборот
3. Комбинационные законы.
Комбинационные законы алгебры логики во многом соответствуют комбинационным законам обычной алгебры, но есть и отличия.
a. закон тавтологии (многократное повторение)
X+X+X+X=X X*X*X*X=X
4. Правило поглощения (одна переменная поглощает другие)
X1+X1X2 X3 =X1(1+X2 X3)=X1
5. Правило склеивания (выполняется только по одной переменной)
Также
как в обычной математике в алгебре
логики имеется старшинство операций.
При этом первым выполняется:
-
Действие в скобках
-
Операция с одним операндом (одноместная операция) – НЕ
-
Конъюнкция - И
-
Дизъюнкция - ИЛИ
-
Сумма по модулю два.
Операции одного ранга выполняются слева направо в порядке написания логического выражения. Алгебра логики линейна и для неё справедлив принцип суперпозиции.
-
Изобразите электрические схемы эквивалентные ло: "и" и "или".
Логическим элементом называется электрическая схема, выполняющая какую-либо логическую операцию (операции) над входными данными, заданными в виде уровней напряжения, и возвращающая результат операции в виде выходного уровня напряжения. Так как операнды логических операций задаются в двоичной системе счисления, то логический элемент воспринимает входные данные в виде высокого и низкого уровней напряжения на своих входах. Соответственно, высокий уровень напряжения (напряжение логической 1) символизирует истинное значение операнда, а низкий (напряжение логического 0) - ложное. Значения высокого и низкого уровней напряжения определяются электрическими параметрами схемы логического элемента и одинаковы как для входных, так и для выходных сигналов. Обычно, логические элементы собираются как отдельная интегральная микросхема. К числу логических операций, выполняемых логическими элементами относятся конъюнкция (логическое умножение, И), дизъюнкция (логическое сложение, ИЛИ), отрицание (НЕ) и сложение по модулю 2 (исключающее ИЛИ).
Элемент И
Логический элемент И выполняет операцию логического умножения (конъюнкция) над своими входными данными и имеет от 2 до 8 входов и один выход (как правило, выпускаются элементы с двумя, тремя, четырьмя и восемью входами). На рис. 1. изображены условные графические обозначения (УГО) логических элементов И с двумя, тремя и четырьмя входами соответственно. Элементы И обозначаются как NИ, где N - количество входов логического элемента (например, 2И, 3И, 8И и т.д.).
|
|
|
Рис. 1 |
Элемент ИЛИ
Логический элемент ИЛИ выполняет операцию логического сложения (дизъюнкция) над своими входными данными и, также как и логический элемент И, имеет от 2 до 8 входов и один выход. На рис. 2. изображены УГО логических элементов ИЛИ с двумя, тремя и четырьмя входами соответственно. Элементы ИЛИ обозначаются также, как и элементы И (2ИЛИ, 4ИЛИ и т.д.).
|
|
|
Рис. 2 |
-
Что такое базовый набор ЛО/ЛЭ? Какие вы знаете базовые наборы ЛО/ЛЭ?
Логические элементы - это электронные схемы, реализующие логические операции. Эти элементы могут иметь один или несколько входов и один выход, через которые проходят электрические сигналы. Эти сигналы принято обозначать цифрами 1 и 0.
Алгебра логики предусматривает множество логических операций (ЛО). Однако три из них заслуживают особого внимания, т.к. с их помощью можно описать все остальные, и, следовательно, использовать меньше разнообразных устройств при конструировании схем. Такими базовыми операциями являются конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ) и отрицание (НЕ). Часто конъюнкцию обозначают &, дизъюнкцию - ||, а отрицание - чертой над переменной, обозначающей высказывание.
При конъюнкции истина сложного выражения возникает лишь в случае истинности всех простых выражений, из которых состоит сложное. Во всех остальных случаях сложное выражение будет ложно.
При дизъюнкции истина сложного выражения наступает при истинности хотя бы одного входящего в него простого выражения или двух сразу. Бывает, что сложное выражение состоит более, чем из двух простых. В этом случае достаточно, чтобы одно простое было истинным и тогда все высказывание будет истинным.
Отрицание – это унарная операция, т.к выполняется по отношению к одному простому выражению или по отношению к результату сложного. В результате отрицания получается новое высказывание, противоположное исходному. Алгебра логики – это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.