1.2.2. Простейшие виды движения твердого тела

Поступательное движение. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, соединяющая две точки тела, движется параллельно самой себе. Траектории точек твердого тела могут быть любыми кривыми линиями.

Теорема: При поступательном движении твердого тела все точки движутся поступательно, описывают одинаковые траектории (совпадающие при наложении) и в каждый момент времени имеют равные скорости и ускорения.

Докажем эту теорему. Пусть твердое тело совершает поступательное движение относительно системы отсчета OXYZ. Положение точек А и В определено радиусами-векторами и соответственно, а положение точки В относительно точки А - радиусом-вектором . Тогда , где

= const, учитывая, что и , тогда , но .

Следовательно | |=| | . (1.62)

Взяв производные от скоростей обеих точек,

или | | = || (1.63)

Рис. 1.52

Таким образом, доказано, что поступательное движение твердого тела есть простейшая форма движения. Изучение этого движения сводится к изу-чению движения точки.

Вращательное движение твердого тела. В р а щ а т е л ь н ы м называется такое движение твердого тела, при котором остаются неподвижными все его точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения (коленчатый вал поршневого двигателя, центробежный компрессор, газовая турбина реактивного двигателя, винт самолета вращаются вокруг неподвижных осей).

Угол, отсчитываемый от неподвижной полуплоскости против движения часовой стрелки, измеряемый в радианах, называется у г л о м п о в о р о т а т е л а - φ. Уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси выражает зависимость угла поворота от времени (рис. 1.53):

φ = f(t) (1.64)

Основными характеристиками вращательного движения тела являются

у г л о в а я с к о р о с т ь – ω и у г л о в о е у с к о р е н и е - ε.

. (1.65)

Размерность [ω] = [рад/с] =[ с^-1] .

Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота с течением времени, называется у г л о в о й с к о р о с т ь ю т е л а - .

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , численная величина которого равна dφ /dt и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 1.54а). Такой вектор сразу определяет и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси.

В технике угловую скорость часто выражают не в радианах в секунду, а частотой вращения n, выраженной числом оборотов в минуту. Зависимость между n и ω с учетом того, что каждый оборот содержит 2π рад, имеет вид

Рис. 1.5 3 Рис. 1.54

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора , направленного вдоль оси вращения. При этом направление совпадает с направлением , когда тело вращается ускоренно и противоположно при замедленном вращении (рис. 1.54а, б).

[рад/с²] (1.66)

Величины φ, ω, ε, n являются угловыми характеристиками, применимыми для всего тела в целом. Их нельзя относить к отдельной точке вращаю-щегося тела или к другой какой-либо точке. Движение точки характеризуется линейными величинами: скоростью и ускорением .

Р а в н о м е р н о е в р а щ е н и е При равномерном вращении тела постоянна его угловая скорость

ω = const, = ω = const, dφ = ω dt, = ω , φ – φ₀ = ω t

или

φ = φ₀ + ω t (1.67)

Р а в н о п е р е м е н н о е в р а щ е н и е. При равнопеременном вращении постоянно угловое ускорение

ε =const , = ε, ω = ω₀ ±ε t (1.68)

ω =, φ = φ₀ +ω₀ t ± ε (1.69)

При φ₀ = 0 и ω₀ = 0 получим φ = ε .

Скорости и ускорения точек тела, при вращательном движении. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии R от оси вращения OZ (рис. 1.55). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса R, плоскость которой перпендикулярна к оси враще ния, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол dφ, то точка М при этом совершит вдоль своей траектории элементарное перемещение dS = R dφ. Тогда скорость точки будет равна

V =

или

V = R ω. (1.70)

Скорость V называют линейной или окружной скоростью точки М.

Касательное и нормальное ускорения

=, = или

= Rε, = Rω² . (1.71)

Модуль полного ускорения

(1.72)

и угол α между вектором полного ускорения и главной нормалью траектории

tg α = (1.73)

Пример 2.3. Рулевой винт вертолета начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя и за первые 4 с совершает 38,2 оборота. Определить его угловое ускорение, угловую скорость и закон изменения угла поворота.

Решение. При равноускоренном вращательном движении угловое ускорение постоянно (ε = const). Записав для него общее дифференциальное выражение dω /dt = ε, разделим в этом выражении переменные и проинтегрируем его. В результате получим ω = ε t.

Угловая скорость связана с углом поворота выражением . Еще раз разделив переменные и проинтегрировав, найдем закон вращательного движения φ = ε .

По условию задачи при t = 4 c, φ = 38,2 об = 240 рад.

Подставив эти значения в общее выражение для угла поворота, найдем 240 = ε, откуда ε = 30 с^-2 . Таким образом,

ε = 30 с^-2; ω = 30t c; φ = 15t² .

Пример 2.4. При выходе на рабочий режим ротор газотурбинного авиадвигателя вращается согласно уравнению φ = 200π t + 15π t², где угол φ изменяетя в радианах, а время t - в секундах. Определить скорость и ускорение расположенного на расстоянии R = 475 мм от оси вращения центр тяжести лопатки ротора через 4 с после начала вращения.

Решение. Используя дифференциальные зависимости между углом поворота и угловой скоростью, угловой скоростью и угловым ускорением, найдем

ω = φ(t) = 200 π + 30 π t = 320 π c^-1, ε = ώ (t) = 30 π c^-2

По найденным кинематическим характеристикам вращательного движения не представляет труда найти скорость V =ωR = 320π· 0,475 = 477 м/c, касательное = ε  R= 30π·0,475 = 44,8 м/с², нормальное =ω² R = (320π)²0,475 = 480000 м/с² и полное = 480000 м/с² - ускорения центра тяжести лопасти турбины.