3 Алгоритмы построения фракталов

3.1 Кривая Коха

Кривая Коха – фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом.

Построение:

Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д. Предельная кривая и есть кривая Коха.

Рисунок 1. Кривая Коха.

Свойства:

• Кривая Коха не имеет самопересечений.

• Кривая Коха имеет промежуточную (то есть не целую) хаусдорфову размерность, которая равна , поскольку она состоит из четырёх равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия 1/3.

3.2 Кривая дракона

Кривая дракона – общее название для некоторых фрактальных кривых, которые могут быть аппроксимированы¹ рекурсивными методами.

Дракон Хартера, рассмотренный в работе, также известный как дракон Хартера – Хейтуэя, был впервые исследован физиками NASA – John Heighway, Bruce Banks, и William Harter. Он был описан в 1967 году Мартином Гарднером (Martin Gardner) в колонке «Математические игры» журнала «Scientific American». Многие свойства фрактала были описаны Chandler Davis и Дональдом Кнутом.

Построение

Берём отрезок, сгибаем его пополам. Затем многократно повторяем итерацию. Если после этого снова разогнуть получившуюся (сложенную) линию так, чтобы все углы были равны 90°, мы получим драконову ломаную.

Рисунок 2. Дракон Хартера–Хейтуэя на 20-й итерации

¹Аппроксимация – научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми.

3.3 Множество Кантора

Канторово множество - один из простейших фракталов. Это подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером «плохого множества» в математическом анализе. Описано в 1883 году Георгом Кантором.

Построение

Из единичного отрезка удалим среднюю треть, т.е. интервал (). Оставшееся точечное множество обозначим через . Множество состоит из двух отрезков. Удалим теперь из каждого отрезка среднюю треть, и оставшиеся множества обозначим как . Повторим эту процедуру снова. Удаляя средние трети у каждого из четырех получившихся отрезков, получим множество . Дальше таким же образом получаем ... Теперь обозначим через пересечение всех . Множество будет называться Канторовым множеством.

Свойства

• Канторово множество не счетное

• Канторово множество имеет промежуточную Хаусдорфову размерность равную

Рисунок 3. Множество Кантора на 7-ой итерации

3.4 Ковер Серпинского

Ковер Серпинского (квадрат Серпинского) – фрактал, являющийся одним из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским.

Построение

Квадрат делится прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Из квадрата удаляется центральный квадрат. Получается множество, состоящее из восьми оставшихся квадратов «первого ранга». Повторяя процедуру для каждого из квадратов первого ранга, получим множество , состоящее из 64 квадратов «второго ранга». Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

,

пересечение членов которой и есть Ковер Серпинского.