Исследование функции методами дифференциального исчисления и построение её графика Теоретические вопросы

1. Сформулируйте признаки возрастания (убывания) функции в данной точке.

2. Дайте определение максимума и минимума функции.

3. Сформулируйте необходимое условие существования экстремума.

4. Какие значения аргумента (какие точки) называются критическими? Как найти эти точки?

5. Сформулируйте достаточный признак существования экстремума и изложите схему исследования функции на экстремум с помощью первой производной.

6. Изложите схему исследования функции на экстремум с помощью второй производной.

7. Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке.

8. Дайте определение выпуклости и вогнутости кривой.

9. Что называется точкой перегиба графика функции? Укажите способ нахождения этих точек.

10. Сформулируйте необходимый и достаточный признаки выпуклости и вогнутости кривой на заданном отрезке.

11. Дайте определение асимптоты кривой. Как найти вертикальные и наклонные асимптоты кривой?

12. Изложите общую схему исследования функции и построение её графика.

Расчётная работа № 4 Задачи для самостоятельного решения

Для расчетной работы № 4 по теме «Исследование функций методами дифференциального исчисления и построение их графиков» предлагается 20 вариантов, в каждом из которых даны две функции. Исследование функций и построение графиков следует проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и её односторонние пределы в точках разрыва.

3. Найти точки экстремума функции и определить промежутки монотонности (интервалы возрастания и убывания функции).

4. Найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика.

5. Найти асимптоты графика функции.

6) Построить график функции, используя результаты проведённого исследования.

7) Для функции из пункта а) требуется дополнительно найти наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [ ; ] .

1. а )  =  1 ,  = 3 ;

б )

2. а )  =  1 ,  = 2 ;

б )

3. а )  = 2 ,  = 3 ;

б )

4. а )  =  1 ,  = 2 ;

б )

5. а )  = 0 ,  = 4 ;

б)

6. а )  =  2 ,  = 3 ;

б )

7. а )  =  3 ,  = 0 ;

б )

8. а )  = 3 ,  = 1 ;

б )

9. а )  = 1 ,  = 4 ;

б )

10. а )  =  1 ,  = 4 ;

б )

11. а )  =  4 ,  = 1 ;

б )

12. а )  =  4 ,  = 0 ;

б )

13. а )  = 1 ,  = 5 ;

б )

14. а )  =  2 ,  = 3 ;

б )

15. а )  =  5 ,  = 2 ;

б )

16. а )  =  5 ,  = 0 ;

б )

17. а )  = 0 ,  = 3 ;

б )

18. а )  =  3 ,  = 5 ,

б )

19. а )  =  5 ,  = 3 ,

б )

20. а )  =  5 ,  =  1 ,

б )

Решение типовых примеров.

Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления и начертить их графики. Исследование функций и построение графиков рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и её односторонние пределы в точках разрыва.

3. Найти точки экстремума функции и определить промежутки монотонности (интервалы возрастания и убывания функции).

4. Найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика.

5. Найти асимптоты графика функции.

6. Построить график функции, используя результаты проведённого исследования.

7. Для функции под пунктом а ) найти дополнительно наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке [  ;  ].

Пример 1. у = ( х³ + 9х² + 15х – 9).

1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть, D( у): х  (  ; +  ), а это значит, что функция непрерывна на всей числовой оси и её график не имеет вертикальных асимптот.

2) Исследуем функцию на экстремум и определим интервалы монотонности. С этой целью найдём её производную и приравняем к нулю:

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки первого рода: Разбиваем этими точками область определения на части, и по изменению знака производной определим промежутки монотонности ( интервалы возрастания и убывания функции ) и наличие экстремума функции:

	(  ,  5 )	 5	( 5,  1 )	 1	( 1, +  )
	+	0		0	+
		max		min	

3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдём вторую производную заданной функции и приравняем её к нулю:

Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода . Разобьём полученной точкой область определения на части, в каждой из которых установим знак второй производной:

	(  ,  3 )	 3	( 3, +  )
		0	+
		т. п.	

Значение х = - 3 является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки

4) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот.

Для определения параметров и уравнения асимптот воспользуемся формулами

Для заданной функции

 .

Следовательно, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.

5) Для построения графика функции в системе координат хОу изобразим точки максимума А (- 5; 4 ), минимума В (- 1; - 4 ), перегиба С (- 3; 0 ) и точку пересечения графика с осью Оу D ( 0; - 9 / 4 ). С учётом результатов исследования построим кривую ( см. рис.1 ).

6) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [- 3; 0 ]. Для этого вычислим значения функции на концах этого отрезка, в критических точках первого рода, попавших на отрезок, и сравним результаты:

у (- 3) = 0 ; у (- 1) = - 4 ; у ( 0) = - 9/4 .

Очевидно, что у_наиб. (- 3) = 0 ; у_наим. (- 1) = - 4 .

Рис. 1

Пример 2.

1. Область определения функции: D ( у ) = { х  ( -  ; 4 )  ( 4 ; +  ) } .

2. Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки .

Вычислим её односторонние пределы в этой точке:

 ; 

х40 х40 х4+0 х4+0

Таким образом, точка является для заданной функции точкой разрыва, а прямая  вертикальной асимптотой графика.

3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности ( интервалы возрастания и убывания функции).

Найдём производную функции, приравняем её к нулю и найдём корни полученного уравнения:

	(; 2)	2	(2; 4)	4	( 4; 10)	10	(10;+)
	+	0		не сущ.		0	+
		max				min	

у_max = у (2) =  4; y_min = y (10) = 20 .

Обозначим точку максимума А (2;  4 ), точку минимума В ( 10; 20 ) .

4. Исследование графика на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдём вторую производную функции, приравняем её к нулю и найдём корни полученного уравнения (если они есть).

=

Так как  0 , то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остаётся выяснить вопрос об интервалах выпуклости и вогнутости графика.

	(   ; 4 )	4	( 4 ; +  )
		не сущ.	+
			

4. Исследование графика на наличие наклонных асимптот:

Следовательно, прямая  наклонная асимптота графика.

6 ) Построение графика.

График заданной функции пересекает ось Оу в точке С ( 0;  5) . Действительно, при функция

Используя все предыдущие результаты исследования, график заданной функции имеет вид, представленный на рис.2.

При построении графика следует вначале провести асимптоты: (вертикальная асимптота) и (наклонная асимптота); затем нанести точки А ( 2;  4 )  max, В ( 10; 20 )  min и С ( 0;  5 )  пересечение с осью ОУ ; и только потом начертить график. При необходимости можно использовать дополнительные точки.

Рис. 2