5. Графическое представление сгруппированных рядов данных натурных наблюдений

Для графического изображения рядов распределения стро­ятся гистограмма и интегральные кривые распределения. Резуль­таты расчетов сводим в таблицу 3.

Таблица 3

Определение ординат эмпирических кривых распределений

N	Границы интервалов	Частота	Относительная частота,	Приведённая частота,
1	2	3	4	5
1	13.96 – 16.61	6	0.2	0.08
2	16.61 – 19.26	3	0.1	0.04
3	19.26 – 21.91	7	0.23	0.09
4	21.91 – 24.56	8	0.26	0.01
5	24.56 – 27.21	4	0.13	0.05
6	27.21 – 29.86	2	0.06	0.02

nотн – относительная частота определяется отношением эмпирической частоты к объёму выборки и характеризует вероятность появления случайно величины в каждом интервале

nпр – приведённая частота или плотность распределения случайно величины в заданном интервале:

nпр= nотн/h

Гистограмма.

6. Проверка статистических гипотез.

а) Проверка выборок на однородность.

Вопросы удлинения рядов данных натурных наблюдений преследует цель корректировки статистических параметров. Для проверки выборок в сходстве формирования случайных величин используют статистические критерии однородности. Как правило, анализируются выборки попарно. Результатом статистического анализа на однородность является объединение двух выборок в од­ну или отрицание однородности между сравниваемыми сово­купностями. В качестве примера использования статистических критериев однородности при практических расчетах студенты об­мениваются выборками и проверяют их на однородность. Для рас­четов используются критерии однородности: параметрический — критерий Фишера; непараметрический — критерий Вилкоксона.

Критерий Фишера основан на равенстве дисперсий выбо­рок распределенных приближено нормально. Расчетное значение критерия Фишера определяется по следующей формуле:

причем необходимо выполнение условия D₁> D₂ , где

D₁ — дисперсия выборки X (допустим, что выполняется

вышеприведенное условие);

D₂ — дисперсия выборки Y (по условию меньше дисперсии выборки X).

Для определения области допустимых значений необхо­димо задаться уровнем значимости и числом степеней свободы (для практических расчетов уровень значимости принимаем рав­ным 0,05, число степеней свободы рассчитывается по следующей зависимости:

, ;

Используя таблицы F-распределения, оп­ределяется критическое значения критерия в зависимости от вы­бранного уровня значимости и числа степеней свободы. Если вы­полняется условие, при котором расчетное значение критерия Фи­шера не превосходит критическое, то можно предположить, что наши ряды однородны и сравниваемые выборки можно объединить в один ряд.

Из непараметрических критериев однородности можно выделить статистический критерий однородности Вилкоксона. Расчеты проводим в следующем виде и последовательности: зна­чения обеих выборок (Х и Y) упорядочиваются вместе по величине, с учетом выборки из которой взято значение. Сумма инверсий оп­ределяется следующим образом: по построенному вариационному ряду из двух сравниваемых выборок проводят подсчет инверсий (инверсией считается величина, характеризующаяся следующим неравенством х_i > y_i) т. е. определяют, сколько значений У- выборки находится перед каждым значением Х-выборки. Расчетное значе­ние критерия Вилкоксона определяется по формуле:

Критическое значение статистического критерия однород­ности Вилкоксона определяется по таблицам или с помощью фор­мулы:

где коэффициент Z_a определяется по формуле:

,

где Ф₀ — функция нормированного и центрированного закона нормального распределения.

Допустим, необходимо сравнить две выборки на принад­лежность их одной генеральной совокупности:

Х Y

	22.65
	23.68
	23.81
	23.92
	23.96
	24.49
	24.63
	24.92
	24.95
	25.31
	25.32
	25.66
	25.81
	26.04
	26.51
	26.59
	26.61
	26.71
	27.75
	27.93
	28.02
	28.29
	28.43
	28.77
	28.82
	28.85
	29.49
	31.07
	32.22
	32.94

	13.96
	15.02
	15.97
	16.21
	16.46
	16.61
	18.74
	18.95
	19.08
	19.38
	20.22
	20.38
	20.56
	20.74
	21.11
	21.31
	21.99
	22.06
	22.29
	22.41
	22.46
	22.69
	23.34
	24.02
	24.76
	25.04
	25.55
	26.54
	28.22
	29.84

D₁ = 13.8 D₂ = 16.35

Критерий Фишера:

F_кр=1.64 , < F_кр=> H₀

Область допустимых значений определяется в зависимости от уровня значимости и числа степеней свободы: а = 0,05; m₁ = 29; m₂ — 29. По таблицам F-распределения опреде­ляем, что критическое значение критерия Фишера равно 1.64. По­лученное расчетное значение критерия Фишера не превышает кри­тического. Исходя из этого можно сделать вывод, что оно нахо­дится в области допустимых значений, и нулевая гипотеза под­тверждается, а это значит, что сравниваемые выборки однородны (принадлежат одной генеральной совокупности), и их можно объе­динить в одну. Данное предположение (о принадлежности сравни­ваемых выборок одной генеральной совокупности) проверим непа­раметрическим критерием однородности Вилкоксона. Для этого необходимо провести следующие действия:

Величины обеих выборок располагаются в порядке воз­растания с учетом того из какой выборки взято значение. Исполь­зуя рассматриваемый пример получим:

13.96(х);15.02(х);15.97(х);16.21(x);16.46(x);16.61(х);18.74(х);

18.95(х);19.08(х);19.38(x);20.22(х);20.38(х);20.56(х);20.74(х);

21.11(х);21.31(х);19.5721.99(х); 22.06(х);22.29(х);22.41(х);22.46(х);

22.65(y);22.69(x);23.34(х);23.68(у);23.81(y);23.92(у);23.96(y);

24.02(х);24.49(y);24.63(y);24.76(x);24.92(y);24.95(y);25.04(x);

25.31(у);25.32(у);25.55(х);25.66(у);25.81(у);26.04(у);26.51(y);

26.54(x);26.59(у);26.61(y);26.71(y);27.75(y);27.93(y);28.02(y);

28.22(x);28.29(у);28.43(у);28.77(y);28.82(у);28.85(у);29.49(y);

29.84(x);31/07(у);32.22(y);32.94(y).

u =1+1+5+7+9+11+15+21+27=97;

По формулам определяются расчетное и крити­ческое значение критерия Вилкоксона:

;

расчетное значение критерия Вижоксона равно В_рас = 353.

По таблицам нормированной и центрированной кривой нормального распределения определяем аргумент по значению функции (Z_a = 1,96), критическое значение равно В_кр = 132.57.

Расчетное значение критерия Вилкоксона оказалось мень­ше критического. С учетом того, что критическая область данного критерия правосторонняя, принимаем нулевую гипотезу, которая подтверждает однородность сравниваемых совокупностей.

Использование критериев согласия преследует цель поиска закона распределения генеральной совокупности, которой принад­лежит данная анализируемая выборка. Расчеты проводятся для ис­ходной выборки (X) при N = 30. Цель расчетов заключается в сле­дующем: с помощью критерия согласия Пирсона проверить при­надлежность эмпирического материала нормальной кривой рас­пределения (кривая Гаусса). Основные положения по кривой рас­пределения приведены выше.

Как и при проверке однородности выдвигается нулевая ги­потеза, но в данном случае она утверждает согласие значений вы­борки со значениями нормальной кривой распределения, т. е. при увеличении данных натурных наблюдений до бесконечности, рас­пределение случайных чисел отвечает выбранному закону распре­деления. Расчет по критерию Пирсона основан на определении теоретической частоты в эмпирических интервалах, и если эмпи­рическая частота и теоретическая отличаются незначительно, то принимается нулевая гипотеза при выбранном уровне значимости и числе степеней свободы. Расчетная формула статистического критерия согласия Пирсона или х² имеет следующий вид:

где К— количество интервалов;

n_i — эмпирическая частота;

n_t — теоретическая частота.

Для того, чтобы использовать аналитические законы рас­пределения, необходимо знать область возможных значений слу­чайных величин (для нормально распределенной случайной вели­чины область возможных значений определяется интервалом (-оо; +оо)). Расчеты сводим в таблицу 4. При этом необходимо выпол­нить следующее условие: для граничных классов N-Pi > 1, а для внутренних — N-Pi > 5. Если условие не соблюдается, то классы необходимо укрупнять.

Таблица 4

Определение выборочного значения х²рас на согласие эмпириче­ского распределения с нормальным законом распределения.

N
1	2	3	4		5		6	7	8	9
0	-∞ - 13.96	0	-∞	-1.95	-0.5	-0.47	0.03	0.9	-0.9	0.9
1	13.96 – 16.61	6	-1.95	-1.24	-0.47	- 0.39	0.08	2.4	3.6	5.4
2	16.61 – 19.26	3	-1.24	-0.52	-0.39	-0.2	0.19	5.7	-2.7	1.28
3	19.26 – 21.91	7	-0.52	0.19	-0.2	-0.08	0.28	8.4	-1.4	0.23
4	21.91 – 24.56	8	0.19	0.9	0.08	0.32	0.24	7.2	0.8	0.08
5	24.56 – 27.21	4	0.9	1.61	0.32	0.45	0.13	3.9	0.1	0.0026
6	27.21 – 29.86	2	1.61	2.32	0.45	0.49	0.04	1.2	0.8	0.53
7	29.86 - +∞	0	2.32	+∞	0.49	0.5	0.01	0.3	-0.3	0.3
							1	30	0	8.72

Условные обозначения:

a_i — границы интервалов;

n_i — эмпирическая частота;

b_i — нормированная и центрированная случайная вели­чина:

Ф₀(b_i) — значение функции нормального закона распреде­ления на границах интервалов определяется по таблицам;

Pi — теоретическая попадания случайной величины в за­данный интервал, Pi = Ф₀(b_i) - Ф₀(b_i-1);

N—объем выборки, N~ 30;

N-Pi — теоретическая частота.

В результате проведенных расчетов получили искомое расчетное значение критерия Пирсона х²_рас =8.72.

Критическое значение критерия Пирсона определяется по таблицам или по формуле:

где т — число степеней свободы, т = К- 1;

Z₂a— коэффициент, определяемый по формуле:

,

0.45, Z₂a=1.65.

Учитывая это, критическое значение критерия Пирсона равно:

10.81

Если расчетное значение не превышает критического на выбранном уровне значимости нулевая гипотеза принимается, что подтверждает принадлежность исследуемой выборки нор­мальному закону распределения.

> х²_рас,

10.81>8.72

Вывод: Условие соблюдается: критическое значение распределения Пирсона больше рассчетного (8.72<10,81) Нулевая гипотеза принимается, эмпирическое распределение согласуется с кривой Гаусса, можно применять все свойства этой кривой и использовать при прогнозировании ; выборка принадлежит нормальному закону распределения.

Заключение:

Мы построили вариационный ряд, сгруппировали данные, графически изобразили ряды, изучили форму кривой распределения, проверили статистические гипотезы. Результаты рассчетов могут быть использованы в дальнейших исследованиях, в частности, для математического моделирования трансформации загрязняющего вещества в водной или воздушной среде.

12