3.Атомна модель Бора

У 1913 році Нільс Бор запропонував свою модель, яка нині має назву "Атомна модель Бора". Він стверджував, що можливими є лише певно не дуже велика кількість станів, у яких можуть перебувати електрони. Відповідно, енергія, що вивільнюється чи поглинається, є лише результатом переходу електрона з одного стану в інший.

Модель атома Бора описує будову атома у вигляді атомного ядра, оточеного електронними оболонками (Рис. 3):

Рис. 3 – Модель атома Бора, модель електронних оболонок

Позитивно заряджене ядро оточене електронами, які обертаються в певних областях простору (оболонках). Електрони різних оболонок або рівнів різко розрізняються за силою свого зв'язку з атомним ядром, тобто вони різняться за своїми енергіями. При цьому говорять про енергетичні рівні або енергетичні оболонки. Це означає, що для того, щоб видалити електрон з самої внутрішньої оболонки атома, необхідна певна мінімальна енергія. Щоб видалити електрон з другої внутрішньої оболонки атома, потрібна точно визначена мінімальна енергія, менша ніж та, яка необхідна для видалення самих внутрішніх електронів. Зв'язок електронів в атомі тим слабше, чим далі вони віддалені від атомного ядра. Мінімальна енергія, що необхідна для видалення електрона з атома, і, таким чином, енергія, з якою електрон пов'язаний з атомом, називається також енергією зв'язку електрона в атомі. Енергія зв'язку електрона в атомі в основному встановлюється в результаті визначення поглиненої енергії, при якій відбувається процес поглинання атомом випромінювання. Тому в літературі дуже часто зустрічається поняття край поглинання: енергетичний рівень дорівнює енергії зв'язку дорівнює краю поглинання.

Окремі оболонки позначаються літерами K, L, M, N, ...., причому сама внутрішня оболонка називається K-оболонкою, наступна за нею - L-оболонкою і т.д. K-оболонка зайнята 2 електронами, L-оболонка має три підрівня і може в сукупності містити до 8 електронів. M-оболонка має п'ять підрівнів і може містити до 18 електронів.

4.Розв'язок рівняння Шредінгера для атома водню. Енергія атома

Статистичне трактування хвиль де Бройля і співвідношення невизначеностей Гейзенберга привели до висновку, що рівнянням руху в квантовій механіці, яке описує рух мікрочастинок в різних силових полях, повинно бути рівняння, з якого виходили би хвильові властивості частинок, які спостерігаються під час досліду.

Розглянемо розв'язок рівняння Шредінгера для атома водню. Так як потенційна функція електрона в атомі водню має вигляд , де e — заряд електрона, r — радіус вектор, рівняння Шредінгера запишеться наступним чином:

Тут ψ — хвильова функція електрона в системі відліку протона, m — маса електрона, де ħ , h — постійна Планка, E — повна енергія електрона, Δ — оператор Лапласа. Так як потенційна функція залежить від r, а не від координат окремо, зручно буде записати лапласіан у сферичній системі координат (r,θ,φ):

І рівняння Шредінгера в сферичних координатах:

У цьому рівнянні ψ — функція трьох змінних (r,θ,φ). Розділимо його на три більш прості рівняння. Для цього представимо функцію ψ(r,θ,φ) як добуток трьох функцій: ψ(r,θ,φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ). Ці функції будемо позначати просто R,Θ,Φ. Тоді

Після підстановки значень частинних похідних у рівняння Шредінгера одержимо:

Помножимо рівняння на :

Другий доданок тут залежить тільки від φ. Перенесемо його в праву частину рівності.

Рівність можлива, коли обидві частини рівні якійсь постійній величині. Позначимо її . Отже,

Розв’язком цього рівняння є функції

Кут φ може змінюватися від 0 до 2π. Функція Φ повинна бути періодичною з періодом 2π. Це можливо тільки якщо m_l = 0,±1,±2,±3,… Таким чином, з розв'язку рівняння Шредінгера одержуємо значення одного із квантових чисел. Число m_l називається магнітним квантовим числом.

Далі, інтегруючи квадрат модуля функції Φ від 0 до 2π і прирівнюючи отриманий вираз 1, одержимо що .

Далі розглянемо ліву частину рівняння (1). Вона, звичайно, рівна :

Розділимо рівняння на sin²θ:

Після аналогічного вищевказаному перенесенню другого доданка в праву частину й позначення величини, якій рівні ці частини, через β, одержуємо:

Розв'язок цих двох останніх рівнянь приводить до значень l і n відповідно. 3 квантових числа в сукупності повністю описують стан електрона в атомі водню.

Модуль повної енергії електрона в стаціонарному стані в атомі водню обернено пропорційний n². Число n називається головним квантовим числом. Воно може мати значення від 1 до ∞. Його зв'язок з енергією див. нижче.

Число l називається орбітальним квантовим числом і визначає момент кількості руху електрона й форму електронної хмари; може мати значення від 0 до n − 1 (n тут відноситься до енергетичного рівня, на якому перебуває розглянутий електрон).

Магнітне квантове число m_l визначає проекцію моменту кількості руху на обрану вісь у магнітнім полі. Ця проекція рівна m_l ħ.

Енергія атома

Рівняння Шредінгера має розв'язки, що задовольняють вимоги однозначності, скінченності і неперервності хвильової функції лише при власних значеннях енергії ,

,

де – стала Рідберга.

Розв'язок рівняння Шредінгера для атома водню приводить до появи дискретних енергетичних рівнів. Нижній рівень Е1, що відповідає мінімально можливій енергії – основний, всі інші збуджені. При рух електрона є зв'язаним – він знаходиться всередині гіперболічної ''потенціальної ями''. У міру зростання головного квантового числа n енергетичні рівні розміщуються тісніше і при . При рух електрона є вільний – він може покинути межі атома. Енергія іонізації атома водню дорівнює:

У квантовій механіці дискретні значення енергій є наслідком самої теорії, вони випливають безпосередньо з розв'язків рівняння Шредінгера.

Густини ймовірності, що відповідають хвильовим функціям електрона атома водню, що має певну енергію (збільшується згори вниз: n = 1, 2, 3, ...) і момент імпульсу (збільшується зліва направо: s, p, d,...). Світліші області позначають більшу густину ймовірності такого вимірювання, яке визначить, що електрон знаходиться саме в цій точці.