Доведення

Очевидно, що

.

Якщо - парне, то

,

бо

,

а вирази в дужках недодатні.

Зауважимо, що , бо

,

а вирази в дужках невід'ємні.

Аналогічно можна показати, що коли - непарне, то

.

Отже, для кожних натуральних та маємо

. (1.23)

Оскільки , то для кожного існує натуральне число таке, що при будь-якому справедлива нерівність . За критерієм Коші даний ряд збіжний.

Наслідок. Абсолютна похибка, яка одержується від заміни суми знакозмінного ряду (1.22) його -ю частинною сумою, не перевищує абсолютної величини першого з відкинених членів ряду.

Приклад 1.17 Дослідити на збіжність ряд

Розв’язування

Оскільки і , то за ознакою Лейбніца даний ряд буде збіжним.

1.5 Властивості абсолютно збіжних рядів

Теорема 1.15 Якщо ряд збіжний абсолютно, то ряд, одержаний з нього будь-якою перестановкою членів, також абсолютно збіжний і має ту саму суму.

Зауваження. Зазначимо, що ця теорема не має місця у випадку умовно збіжних рядів.

Теорема 1.16 (Рімана) Якщо ряд збіжний умовно, то в результаті перестановки його членів можна одержати ряд, який має наперед задану суму, а також розбіжний ряд.

Теорема 1.17 Якщо абсолютно збіжні ряди

,

мають відповідно суми S і , то ряд, складений з усіх добутків вигляду , занумерованих у будь-якому порядку, також абсолютно збіжний і має суму .

На практиці добуток рядів зручно записувати у вигляді

, (1.24)

де спочатку записано член, сума індексів якого дорівнює 2, потім - всі члени, сума індексів яких дорівнює 3 і т.д.

1.6 Розв’язування задач із використанням ознак збіжності рядів

Приклад 1.18 Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язування

Використаємо другу ознаку порівняння. Розглянемо збіжний узагальнений гармонічний ряд . Тоді

,

за теоремою 1.10 даний ряд також збіжний.

Приклад 1.19 Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язування

Використаємо другу ознаку порівняння. Розглянемо збіжний ряд . Тоді

,

за теоремою 1.10 даний ряд також збіжний.

Приклад 1.20 Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язування

Використаємо ознаку Д’Аламбера (теорема 1.11).

, ;

.

За ознакою Д’Аламбера даний ряд розбіжний.

Приклад 1.21 Дослідити на збіжність ряд .

Розв’язування

Застосуємо інтегральну ознаку Коші (теорема 1.12). Функція невід’ємна та незростаюча на проміжку . Дослідимо на збіжність невласний інтеграл

.

Оскільки невласний інтеграл збіжний, то за інтегральною ознакою Коші буде збіжним і даний ряд.

Приклад 1.22 Дослідити на абсолютну та умовну збіжність ряд .

Розв’язування

Для дослідження на абсолютну збіжність розглянемо ряд з модулів членів даного ряду. Цей ряд такий

;

він є розбіжним як узагальнений гармонічний ряд з . Такий результат означає, що ряд не збіжний абсолютно.

Перевіримо умовну збіжність. Члени даного ряду монотонно спадають за абсолютною величиною і загальний член цього ряду прямує до нуля при . За ознакою Лейбніца (теорема 1.14) даний ряд збіжний.

Таким чином, ряд умовно збіжний.