Задание д4
Для условия
задания К1
(положение точки М
на стержне АВ задано величиной АМ
= S = S1
= 30 см ), угол
поворота кривошипа определяется
выражением
=
),
для момента времени t
= t1=
c,
найти
проекции на оси координат 0х
и 0у
главного
вектора действующих на механическую
систему внешних сил.
Решение
Воспользуемся теоремой о движении центра масс механической системы, которая в данной задаче состоит из стержня АВ и материальной точки М
,
где М = m1
+ m2
– масса механической системы (m1
– масса стержня, m2
– масса
материальной точки М),
−
сумма внешних сил действующих на точки
и тела механической системы,
−
вектор ускорения центра масс механической
системы.
Запишем теорему о движении центра масс системы в проекциях на заданные оси координат Ох и Оу
,
,
где
и
есть искомые величины (нужно определить
не какую-нибудь конкретную силу из
показанных на рисунке, а величины,
характеризующие действие всех внешних
сил).
Для их определения
надо вычислить проекции на оси координат
вектора ускорения
центра масс системы, которые находятся
как вторые производные от выражений
координат хС
и уС
центра масс по времени.
,
.
Найдем координаты центра масс системы с помощью уравнений
=
,
=
,
здесь х1, у1, х2, у2 - координаты соответственно центра масс стержня АВ и материальной точки М.
Проекции вектора
ускорения центра масс системы на оси
координат можно найти, вычислив вторые
производные от полученных уравнений.
Подставив в эти зависимости выражение
,
найдем
(
)
+
[
],
=
(
)
+
[
].
Для момента времени
t
=
c
с учетом значений величин ОА = 40 см = 0,4
м, АВ = 100 см = 1 м, S = 30 см = 0,3 м, получим
(
)
+
[
]
=
0,1364 м/с2,
=
(
)
+
[
]
=
0,5284 м/с2.
Зная
и
,
вычислим проекции на оси координат 0х
и 0у главного вектора действующих на
механическую систему внешних сил
=
= (15 + 5)∙ 0,1364 = 2,729 Н,
=
= (15 + 5)∙ 0,5284 = 10,569 Н.
Задание д5
Движение системы начинается из начального положения ( = 0) с ничтожно малой начальной скоростью под действием приложенного к стержню АВ постоянного по величине и направлению крутящего момента Мкр, который направлен так, что способствует увеличению угла . Полагая, что во все время движения S = S1 = const, найти зависимость угловой скорости АВ стержня АВ от угла . Применить теорему об изменении кинетической энергии.
Решение
Прежде всего, изобразим начальное положение механической системы
и положение системы в промежуточном положении
Запишем теорему об изменении кинетической энергии механической системы
Т2
– Т1=
,
здесь обозначено
Т1
и Т2
- кинетические энергии системы
соответственно в начальном и конечном
положениях,
и
-
суммы работ внешних и внутренних сил
на рассматриваемом перемещении
механической системы.
Кинетическая энергия системы в начальном положении равна нулю, так как в этом положении система находилась в покое (Т1= 0). Кинетическая энергия механической системы в конечном (произвольном, определяемом углом φ) положении определяется суммой кинетических энергий стержня АВ и материальной точки М, кинетическая энергия кривошипа не учитывается (равна нулю), так как массой кривошипа по условию задания следует пренебречь.
Т2 = ТАВ + ТМ.
Стержень совершает плоскопараллельное движение, формула для вычисления кинетической энергии имеет вид
ТАВ
=
+
,
где
– скорость центра масс стержня,
– момент инерции стержня относительно
оси проходящей через его центр масс.
Так как нужно получить буквенное
выражение зависимости скорости
от
и
,
то сначала, как в задании К1, составим
уравнения движения точки С1,
а затем найдем ее скорость.
= – ОА
+ АС1
= – R
+ (АВ/2)
,
= – ОА
+ АС1
= – R
+ (АВ/2)
.
Для вычисления квадрата скорости точки С1 при координатном способе задания движения используют формулу
,
где -
,
проекции вектора скорости на оси
координат.
=
,
=
.
Тогда
(
)2
+ (
)2
=
−
=
.
Выражение угловой
скорости стержня получено ранее (в
задании К2)
.
Момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси проходящей через центр масс С1 стержня находится по формуле
,
где
= АВ.
Подставляя найденные выражения в формулу кинетической энергии стержня, получаем
ТАВ
=
+
.
Формула кинетической
энергии для материальной точки М имеет
вид
.
Выражение квадрата
скорости точки М (
)
получим, используя найденные в задании
К1 проекции скорости точки на оси
координат
=
,
.
Тогда
= (
)2
+ (
)2
=
−
=
.
Подставляя найденные выражения в формулу кинетической энергии точки, получаем
ТМ
=
.
Выражение кинетической энергии всей системы в конечном положении имеет вид
Т2
=
+
.
Вычислим сумму
работ внешних сил действующих на
механическую систему. Для этого на
рисунке покажем внешние воздействия,
к числу которых относятся силы тяжести
,
реакции внешних связей
и крутящий момент Мкр.
.
Найдем работу
каждой из сил в отдельности. Работы сил
тяжести
на
заданном перемещении положительны
=
(R
− (АВ/2)
),
=
(R
− S1
).
Работы сил реакций связей в точках О и D равны нулю
,
так как все эти силы приложены в
неподвижных точках (перемещения точек
приложения сил равны нулю).
Работа крутящего
момента Мкр
положительна и вычисляется по формуле
.
Выражение суммы работ внешних сил имеет вид
=
(R
− (АВ/2)
)
+
(R
- S1
)
+
=
(
)
−
+
.
Определим сумму работ внутренних сил механической системы.
= 0 (трением мы
пренебрегаем, систему образуют абсолютно
твердые тела).
После подстановки найденных выражений в формулу теоремы об изменении кинетической энергии, получим
+
=
(
)
−
+
или, вынося
за
скобки, имеем
=
(
)
−
+
,
откуда
.
Это и есть искомая
зависимость
.