9. Формула Пуассона.

Если npq<10 и р<0,1, то

где λ=np.

10. Случайные величины и их виды.

Случайной величиной (СВ) называют такую величину, ко­торая в результате опыта может принимать те или иные зна­чения, причем до опыта мы не можем сказать какое именно значение она примет. (Более точно, СВ - это действитель­ная функция, определенная на пространстве элементар­ных событий Q). Случайные величины обозначаются последними бук­вами латинского алфавита - X,Y,Z. Случайные величи­ны могут быть трех типов: - дискретные, - непрерывные, - смешанные (дискретно-непрерывные). Дискретная случайная величина (ДСВ) может при­нимать конечное или бесконечное счетное число значе­ний. Непрерывная случайная величина (НСВ) в отличие от ДСВ принимает бесконечное несчетное число значе­ний. Например мишень имеет форму круга радиуса R. По этой мишени произвели выстрел с обязательным попаданием. Обозначим через Y расстояние от центра мишени до точки попадания, Ye [0; R]. Y - непрерывная случайная величина, так как она принимает бесконеч­ное несчетное число значений.

Пусть X - дискретная случайная величина, кото­рая принимает значения х₁, х₂, ...,х_n,... с некоторой вероятностью р_i, где i = 1, 2, ..., n,... Тогда можно говорить о вероятности того, что случайная величи­на X приняла значение х_i: р_i=Р(Х=х_i).

ДСВ может также представляться в виде многоугольника распределения – фигуры, состоящей из точек, соединенных отрезками. Над СВ устанавливаются операции сложения и умножения.

Суммой двух СВ X и Y наз-ся случайная величина, которая получается в рез-те сложения всех значений случайной величины X и всех значений СВ Y, соответствующие вероятности перемножаются. Произведением двух СВ X и Y наз-ся СВ, которая получается в рез-те перемножения всех значений СВ X и всех значений СВ Y, соответствующие вероятности перемножаются.

13. Математическое ожидание.

Математическим ожиданием М(Х) ДСВ X назы­вается среднее значение случайной величины:

Или иначе, М(Х) - это сумма парных произведе­ний случайной величины на соответствующую веро­ятность:

Мода М_о(Х) распределения - это значение СВ, имею­щее наиболее вероятное значение.

Медиана М_е(Х) - это значение случайной величины, которое делит таблицу распределения на две части та­ким образом, что вероятность попадания в одну из них равна 0,5. Медиана обычно не определяется для ДСВ.

Свойства математического ожидания:

1) М(С)=С, где С=const;

2)М(СХ) = СМ(Х);

3) M(X±Y) = М(Х) ± M(Y);

4) Если случайные величины X и Y, независимы, то M(XY) = M(X)*M(Y).

Для биномиального распределения М(Х)=nр;

для геометрического распределения М(Х)= 1/р;

для распределения Пуассона М(Х)=λ;

для гипергеометрического распределения М(Х) = n(M/N).

14. Дисперсия дсв и ее свойства.

математическое ожи­дание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания: D(X) = M(x-M(X)²) = =(х₁-М(Х))²р₁+(х₂-М(Х))²р₂+....+(x_n-М(Х))²р_n .(2.3.2)

Свойства дисперсии:

1) D(С) = 0, где С=соnst;

2) D(CX)=C²D(X);

3) D(X)=M(X²)-(M(X))², где М(Х²) = х²₁ р₁ + x²₂ p₂ + ...+ х²_n р_n;

4) Если СВ X и Y независимы, то D(X±Y)=D(X) + D(Y);

5) D(OX)=D(X);

6) Для любых СВ X и Y, D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y), где cov(X,Y)=M((X-m_x)(Y-m )) - ковариация случай­ных величин X и Y (М(Х)= m_x, M(Y)= m).

Дисперсия характеризует средний квадрат откло­нения ДСВ, поэтому на практике часто используют в качестве характеристики разброса среднее квадратическое отклонение σ(Х)= √D(X) , которое имеет ту же размерность, что и СВ X.

Для биноминального закона D(X)=npq, σ(X)=√npq;

для геометрического закона D(X)= q/p²;

для гипергеометрического D(X)=n(M/N)(1-M/N)(N-n)/(N-1);

для распределения Пуассона D(X)=λ.

Только для распределения Пуассона M(X)=D(X)= λ.