6.5. Производные высших порядков и формула Тейлора

Производная второго порядка функции y=f(x) :

Производная n-го порядка (n-ая производная ) функции y=f(x):

Формула Тейлора:

где - остаточный член в форме Лагранжа.

Формула Маклорена (a=0):

6.6. Исследование функций

План полного исследования функции:

1. Элементарное исследование:

- найти область определения и область значений;

- выяснить общие свойства: четность(нечетность), периодичность;

- найти точки пересечения с осями координат;

- определить участки знакопостоянства.

2. Исследование с помощью предела:

- найти точки разрыва и выяснить их характер;

- найти область непрерывности;

- найти вертикальные и наклонные асимптоты.

3. Исследование с помощью :

- найти критические точки;

- определить интервалы возрастания и убывания функции;

- определить экстремумы.

4. Исследование с помощью :

- найти точки, в которых или не существует;

- найти участки выпуклости и вогнутости;

- определить точки перегиба.

5. Построение графика функции.

Рекомендации по применению плана исследования функции:

1. Отдельные элементы исследования наносятся на график постепенно, по мере их нахождения.

2. Если появляются затруднения с построением графика функции, то находятся значения функции в некоторых дополнительных точках.

3. Целью исследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.).

4. Строго придерживаться приведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведения функции.

Тема 7. Интегральное исчисление

7.1. Неопределенный интеграл

7.1.1. Определения и свойства

Функция называется первообразной для , если .

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных для этой функции.

Обозначение: , где - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла: .

2. Дифференциал неопределенного интеграла: .

3. Неопределенный интеграл от дифференциала: .

4. Неопределенный интеграл от линейной комбинации функций:;

4а. Неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций:;

4б. Вынесение постоянного множителя за знак неопределенного интеграла:

7.1.2. Основные методы интегрирования

1. использование свойств неопределенного интеграла;

2. подведение под знак дифференциала;

3. метод замены переменной:

а) замена в интеграле :

где - функция, интегрируемая легче, чем исходная; - функция, обратная функции ; - первообразная функции ;

б) замена в интеграле вида :

;

4. метод интегрирования по частям: .

 

7.1.3. Таблица интегралов

№ п/п	Интегрируемая функция	Формула
1	Степенная функция     частные случаи	,
2	Показательная функция   частный случай
3	Рациональные функции
4	Иррациональные функции
5	Тригонометрические функции
6	Содержит тригонометрические функции