Задание 2

Пример. По данным корреляционной таблицы найти условные средние и . Оценить тесноту линейной связи между признаками Х и Y и составить уравнения линейной регрессии Y по Х и Х по Y.

Y	X						ny
	10	15	20	25	30	35
35	5	1					6
45		6	2				8
55			5	40	5		50
65			2	8	7		17
75				4	7	8	19
nx	5	7	9	52	19	8	n=100

Решение. В таблице приведены полученные в результате выборочных наблюдений значения признаков Х и Y с частотами n_x, n_y. Частота n_xy, стоящая на пересечении соответствующих строки и столбца, показывает, сколько раз наблюдалась пара значений (х, у). Например, пара значений (25, 55) наблюдалась 40 раз.

В таблице каждому значению Х соответствует статическое распределение признака Y. Например, для Х = 20

Y	35	45	55	65	75
nxy	0	2	5	2	0

Отсюда среднее значение Y при условии, что Х = 20, или условное среднее:

.

Аналогично,

;

;

;

;

;

.

Условные средние :

;

;

;

;

.

Оценка тесноты линейной связи между признаками Х и Y производится с помощью коэффициента линейной корреляции r:

.

При этом ‑1 ≤ r ≤ 1, знак указывает на вид связи (прямая или обратная). Величина указывает на связи:

Таблица 1

Значение r	0 ‑ 0,1	0,1 ‑ 0,3	0,3 ‑ 0,5	0,5 ‑ 0,7	0,7 ‑ 0,9	0,9 ‑ 0,99	1
Теснота линейной связи	нет	слабая	умерен- ная	замет- ная	высо- кая	очень высокая	функ- циона- льная

При r > 0 связь прямая, т.е. с ростом Х растет Y.

При r < 0 связь обратная, т.е. с ростом Х убывает Y.

Для нахождения r вычислим общие средние , , , также средние квадратичные отклонения _х и _у. Вычисления поместим в таблицы 2 и 3.

Таблица 2

х	nx	xnx	x2nx
10	5	50	500	35	1750
15	7	105	1575	43,57	4570
20	9	180	3600	55	9900
25	52	1300	32500	58	75400
30	19	570	17100	65,05	37648
35	8	280	9800	75	21000
	100	2485	65075	‑	150268

Таблица 3

y	ny	xny	y2ny
35	6	210	7350	11	2310
45	8	360	16200	16,25	5850
55	50	2750	151250	25	68750
65	17	1105	71825	26,47	29282,5
75	19	1425	106875	31	44075
	100	5850	353500	‑	150268

Замечание. Равенство окончательных сумм может оказаться приближенным, что связано с приближенными вычислениями условных средних.

С помощью таблиц 2 и 3 находим общие средние, средние квадратов, среднюю произведения и средние квадратичные отклонения:

;

;

;

;

;

;

;

Отсюда коэффициент корреляции равен:

.

При r > 0 связь прямая, т.е. с ростом Х возрастает Y. По таблице 1 определяем, что линейная связь высокая.

Найдем линейное уравнение Y по Х с помощью равенства

.

Тогда

.

После преобразований получим:

.

Аналогично найдем линейное уравнение регрессии Х по Y с помощью формулы

.

Тогда

.

После преобразований получим:

.

Зависимость между признаками Х и Y задана корреляционной таблицей. В задачах 2.1. – 2.30. требуется:

1. Вычислить выборочный коэффициент корреляции.

2. Составить уравнения прямых линий регрессии Х на Y и Y на Х.

1. Y	X						ny
   	4	9	14	19	24	29
   10	2	3	–	–	–	–	5
   20	–	7	3	–	–	–	10
   30	–	–	2	50	2	–	54
   40	–	–	1	10	6	–	17
   50	–	–	–	4	7	3	14
   nx	2	10	6	64	15	3	n=100

Y	X						ny
	10	15	20	25	30	35
30	2	6	–	–	–	–	8
40	–	4	4	–	–	–	8
50	–	–	7	35	8	–	50
60	–	–	2	10	8	–	20
70	–	–	–	5	6	3	14
nx	2	10	13	50	22	3	n=100

3. Y	X						ny
   	15	20	25	30	35	40
   5	4	2	–	–	–	–	6
   10	–	6	4	–	–	–	10
   15	–	–	6	45	2	–	53
   20	–	–	2	8	6	–	16
   25	–	–	–	4	7	4	15
   nx	4	8	12	57	15	4	n=100

4. Y	X						ny
   	15	20	25	30	35	40
   6	4	2	–	–	–	–	6
   12	–	6	2	–	–	–	8
   18	–	–	5	40	5	–	50
   24	–	–	2	8	7	–	17
   30	–	–	–	4	7	8	19
   nx	4	8	9	52	19	8	n=100

5. Y	X						ny
   	5	10	15	20	25	30
   20	1	5	–	–	–	–	6
   30	–	5	3	–	–	–	8
   40	–	–	9	40	2	–	51
   50	–	–	4	11	6	–	21
   60	–	–	–	4	7	3	14
   nx	1	10	16	55	15	3	n=100

6. Y	X						ny
   	5	10	15	20	25	30
   8	2	4	–	–	–	–	8
   12	–	3	7	–	–	–	8
   16	–	–	5	30	10	–	50
   20	–	–	7	10	8	–	20
   24	–	–	–	5	6	3	14
   nx	2	7	19	45	24	3	n=100

7. Y	X						ny
   	2	7	12	17	22	27
   10	2	4	–	–	–	–	6
   20	–	6	2	–	–	–	8
   30	–	–	3	50	2	–	55
   40	–	–	1	10	6	–	17
   50	–	–	–	4	7	3	14
   nx	2	10	6	64	15	3	n=100

8. Y	X						ny
   	11	16	21	26	31	36
   25	2	4	–	–	–	–	6
   35	–	6	3	–	–	–	9
   45	–	–	6	45	4	–	55
   55	–	–	2	8	6	–	16
   65	–	–	–	4	7	3	14
   nx	2	10	11	57	17	3	n=100

9. Y	X						ny
   	4	9	14	19	24	29
   8	3	3	–	–	–	–	6
   18	–	5	4	–	–	–	9
   28	–	–	40	2	8	–	50
   38	–	–	5	10	6	–	21
   48	–	–	–	4	7	3	14
   nx	3	8	49	16	21	3	n=100

10. Y	X						ny
    	5	10	15	20	25	30
    11	4	2	–	–	–	–	6
    21	–	5	3	–	–	–	8
    31	–	–	5	45	5	–	55
    41	–	–	2	8	7	–	17
    51	–	–	–	4	7	3	14
    nx	4	7	10	57	19	3	n=100

11. Y	X						ny
    	5	10	15	20	25	30
    10	2	6	–	–	–	–	8
    20	–	7	3	–	–	–	10
    30	–	–	2	40	2	–	44
    40	–	–	1	10	13	–	24
    50	–	–	–	4	7	3	14
    nx	2	13	6	54	22	3	n=100

12. Y	X						ny
    	15	20	25	30	35	40
    30	1	6	–	–	–	–	7
    40	–	–	4	–	–	5	9
    50	–	4	7	30	9	–	50
    60	–	–	2	10	8	–	20
    70	5	–	–	–	6	3	14
    nx	6	10	13	40	23	8	n=100

13. Y	X						ny
    	4	9	14	19	24	29
    5	–	–	4	2	–	–	6
    10	–	6	–	–	–	4	10
    15	45	–	6	–	2	–	53
    20	–	6	2	8	–	–	16
    25	7	–	–	4	–	4	15
    nx	52	12	12	14	2	8	n=100

14. Y	X						ny
    	2	7	12	17	22	27
    6	–	–	–	4	2	–	6
    12	–	5	3	–	–	–	8
    18	–	5	–	40	5	–	50
    24	–	–	2	8	–	7	17
    30	8	–	–	4	7	–	19
    nx	8	10	5	56	14	7	n=100

15. Y	X						ny
    	11	16	21	26	31	36
    20	–	–	–	–	7	–	7
    30	–	4	3	–	–	–	7
    40	1	–	9	40	2	–	52
    50	–	6	4	11	6	–	27
    60	–	–	–	4	–	3	7
    nx	1	10	16	55	15	3	n=100

16. Y	X						ny
    	2	7	12	17	22	27
    8	2	–	–	–	–	4	6
    12	–	3	7	–	–	–	10
    16	–	–	5	30	10	–	45
    20	–	4	7	10	8	–	29
    24	5	1	–	–	4	–	10
    nx	7	8	19	40	22	4	n=100

17. Y	X						ny
    	11	16	21	26	31	36
    10	–	4	–	–	1	–	5
    20	2	–	2	–	–	6	10
    30	–	6	3	40	2	–	51
    40	10	–	1	2	6	–	19
    50	–	–	–	4	8	3	15
    nx	12	10	6	46	17	9	n=100

18. Y	X						ny
    	11	16	21	26	31	36
    25	–	–	4	–	1	1	6
    35	7	–	2	–	–	2	11
    45	–	–	6	40	4	–	50
    55	–	8	2	–	9	–	19
    65	3	–	–	4	7	–	14
    nx	10	8	14	44	21	3	n=100

19. Y	X						ny
    	5	10	15	20	25	30
    8	–	–	1	–	4	1	6
    18	5	–	4	–	–	–	9
    28	–	–	40	–	8	2	50
    38	–	10	5	–	6	–	21
    48	–	–	–	4	7	3	14
    nx	5	10	50	4	25	6	n=100

20. Y	X						ny
    	2	7	12	17	22	37
    11	–	–	–	2	–	4	6
    21	3	5	–	–	–	–	8
    31	–	–	5	45	–	–	50
    41	–	8	2	–	7	–	17
    51	–	–	–	4	7	8	19
    nx	3	13	7	51	14	12	n=100

21. Y	X						ny
    	4	9	14	19	24	29
    10	2	3	–	1	–	–	6
    20	–	4	3	–	–	3	10
    30	–	2	–	50	2	–	54
    40	–	–	1	10	6	–	17
    50	–	–	–	4	7	2	13
    nx	2	9	4	65	15	5	n=100

Y	X						ny
	10	15	20	25	30	35
30	2	3	–	3	–	–	8
40	–	4	‑	–	4	–	8
50	–	7	‑	35	8	–	50
60	2	–	2	10	6	–	20
70	5	–	–	‑	6	3	14
nx	9	14	2	48	24	3	n=100

23. Y	X						ny
    	15	20	25	30	35	40
    5	4	‑	–	–	2	–	6
    10	–	6	‑	–	–	4	10
    15	–	5	6	40	2	–	53
    20	–	4	2	4	6	–	16
    25	–	–	7	4	‑	4	15
    nx	4	15	15	48	10	8	n=100

24. Y	X						ny
    	15	20	25	30	35	40
    6	4	1	–	–	–	1	6
    12	–	5	2	–	1	–	8
    18	–	5	5	35	5	–	50
    24	–	–	4	6	7	–	17
    30	–	1	–	4	7	7	19
    nx	4	12	11	45	20	8	n=100

25. Y	X						ny
    	5	10	15	20	25	30
    20	1	4	–	–	–	1	6
    30	2	3	3	–	–	–	8
    40	–	–	7	40	2	2	51
    50	–	1	4	10	6	–	21
    60	–	1	–	4	7	2	14
    nx	3	9	14	54	15	5	n=100

26. Y	X						ny
    	5	10	15	20	25	30
    8	2	3	–	–	–	1	8
    12	–	3	4	–	3	–	8
    16	–	5	5	25	10	–	50
    20	4	–	7	10	4	–	20
    24	–	–	–	5	6	3	14
    nx	6	11	16	40	23	4	n=100

27. Y	X						ny
    	2	7	12	17	22	27
    10	2	3	–	–	–	1	6
    20	–	4	2	–	2	–	8
    30	–	4	3	46	2	–	55
    40	2	–	1	10	4	–	17
    50	–	–	–	4	7	3	14
    nx	4	11	6	60	15	4	n=100

28. Y	X						ny
    	11	16	21	26	31	36
    25	1	4	–	1	–	–	6
    35	1	6	2	–	–	–	9
    45	–	–	6	43	4	2	55
    55	1	–	2	7	6	–	16
    65	2	–	–	4	5	3	14
    nx	5	10	10	55	15	5	n=100

29. Y	X						ny
    	4	9	14	19	24	29
    8	3	2	–	–	–	1	6
    18	2	5	2	–	–	–	9
    28	–	4	40	2	4	–	50
    38	–	–	3	10	6	2	21
    48	–	1	–	3	7	3	14
    nx	5	12	45	15	17	6	n=100

30. Y	X						ny
    	5	10	15	20	25	30
    11	2	2	–	–	2	–	6
    21	2	3	3	–	–	–	8
    31	–	–	5	45	5	–	55
    41	–	–	2	11	4	–	17
    51	–	–	–	4	7	3	14
    nx	4	5	10	60	18	3	n=100