Методи розв’язку нелінійних рівнянь

Загальна форма запису нелінійного рівняння f(x)=0. Наприклад, f(x)=x³+2.0·x.

Розв’язком рівняння f(x) буде таке X, при якому рівняння перетворюється в тотожність: при x=X, f(X)=0. Функція нев’язки |f(x_пот)| є мірою відхилення x_пот від X (x_пот – поточне значення кореня). При чисельному розв’язку рівнянь розв’язком вважається таке Х_ч, при якому |f(X_ч)|≤ε, де ε – похибка обчислення, яку обирати з діапазону ε =10^-5 – 10^-3 (для метода половинного ділення розв’язком є будь-яке значення з проміжку [x₁; x₂], якщо |x₁-x₂|≤ε).

Метод хорд

Задамо точки х₁ та х₂, в яких значення функції мають протилежні знаки (в нашому випадку, наприклад, в точці х₁ f(x₁)<0, в точці x₂ f(x₂)>0). Як відомо з курсу вищої математики, при цій умові корінь рівняння лежить між точками x₁ і x₂. Проводимо через точки f(x₁) та f(x₂) пряму (хорду), рівняння якої в канонічному виді має вигляд

,

де f(x₁), f(x₂) - значення функції в точках x₁ і x₂,

f '(x) – похідна функції f(x).

Тепер знаходимо з цього рівняння координату точки x_i, в якій хорда перетинає вісь абсцис (F(x_i)=0):

Вирахуване значення x_i вважаємо новим значенням x₁ або x₂: значення x_i обирається рівним x₁ або x₂ таким чином, щоб точка з розв’язком знаходилася всередині інтервалу [х₁; х₂], тобто значення функції в точках х₁ та х₂ знову мали протилежні знаки. (При однакових знаках в обох точках добуток значень функцій в цих точках буде додатній, при різних знаках – від’ємний.)

На кожній ітерації обчислюємо |f(x_і)| і порівнюємо з заданою похибкою розв’язку ε. Цикл припиняється, коли значення функції в точці x_і менше за абсолютним значенням ніж ε; це значення х_і вважається розв’язком рівняння Х_ч.

Метод половинного ділення

Задамо точки x₁ та х₂, в яких значення функції мають протилежні знаки (в нашому випадку, наприклад, в точці х₁ f(x₁)<0, в точці x₂ f(x₂)>0). При цій умові корінь рівняння лежить між точками x₁ і x₂. Метод половинного ділення полягає в зменшенні інтервалу [х₁; x₂] вдвічі на кожній ітерації.

Обираємо нову точку на середині відрізку [x₁; x₂]:

О бчислюємо значення F=f(x_і). Перевіряємо, в якому з утворених проміжків [х₁; x_і] та [х_і; x₂] знаходиться розв’язок рівняння (якщо значення функції на кінцях проміжку мають протилежні знаки, то розв’язок знаходиться в цьому проміжку). Для показаної на малюнку функції бачимо, що якщо F<0, то корінь рівняння лежить поміж х_і та х₂. В цьому разі необхідно значення змінної х₁ замінити на значення х_і і повторити обчислення. Якщо F>0, то корінь лежить поміж х₁ і х_і (друга ітерація). Тоді треба замінити значення змінної х₂ на х_і і повторити обчислення. Після присвоєння х_і необхідно перевірити критерій закінчення пошуку розв’язку |x₁-x₂|≤ε.

Метод Ньютона (метод дотичних)

Обираємо х₁ і обчислюємо f(x₁). Проводимо у вибраній точці дотичну до кривої f(x). Рівняння дотичної має вигляд:

де f '(x₁) – перша похідна функції f(x) в точці х₁.

З цього рівняння визначаємо точку х_і, в якій дотична перетинає вісь абсцис:

,

звідки

.

Значення x_і ближче до кореня ніж x₁. Міняємо x₁ на x_і і повторюємо обчислення до того часу, поки не виконається критерій зупинки |F(х_і)|≤ε.