Практическая постановка задачи

Требуется проверить выборку из генеральной совокупности на нормальное распределение по критерию Пирсона и критерию Колмогорова.

Выполнение задания ргр

Построим вариационный ряд:

-2.1 -2.03 -1.98 -1.56 -1.453 -1.403 -1.398 -1.34 -1.24 -1.087 -0.973 -0.76 -0.70 -0.69 -0.67 -0.59 -0.56 -0.542 -0.509 -0.492 -0.435 -0.387 -0.238 -0.185 0.095 0.106 0.159 0.206 0.231 0.287 0.329 0.349 0.496 0.557 0.662 0.756 0.832 0.874 0.907 1.125 1.223 1.332 1.413 1.523 1.577 1.639 1.745 1.803 1.814 1.902 2.167 2.323 2.432 2.491 2.543 2.675 2.749 2.903

Проверим гипотезу с помощью критерия Пирсона

1) Возьмем n = 58 – объем выборки. Раздели наблюдаемые значения случайной величины X на r = 8 интервалов: (- ∞ : -2,5), (-2,5 : -1,5), (-1,5 : -0,8), (-0,8 : 0,0), (0,0 : 1,0), (1,0 : 1,8), (1,8 : 3,0), (3,0 : ∞).

Вычисли середины эти интервалов , .. , = ( - ∞, - 2, -1.15, -0.4, 0.5, 1.4, 2.4, ∞). Найдем частоты интервалов : 0, 4, 7, 13, 15, 8, 11, 0.

2) Вычислим выборочную среднюю = 0.45 и S = = 1,233 ( = 1,52). Перейдем к нормированной случайной величине Z = (X - /S*, вычислим Z = (- ∞ , -2.389 , -1.579, -1.012, -0.364, 0.445, 1.093, 2.065, ∞).

Запишем интервалы () : (- ∞ : -2,389), (-2,389 : -1,579), (-1,579 : -1,012), (-1,012 : -0,364), (-0,364 : 0,445), (0,445 : 1,093), (1,093 : 2,065), (2,065 : ∞)

3) Используя функцию Лапласа Ф(z) вычислим теоретические вероятности попадания Х в интервалы , по равенству

и найдем теоретические частоты :

Ф() = (0.0000, 0.0082, 0.0571, 0.1562, 0.3594, 0.6700, 0.8621, 0.9803, 1.0000);

= (0.0082, 0.0489, 0.0991, 0.2032, 0.3106, 0.1921, 0.1182, 0.0197);

= (0.4756, 2.8362, 5.7478, 11.786, 18.014, 11.142, 6.8556, 1.1426).

4) Для нахождения меры отклонения эмпирических частот от частот предполагаемого нормального распределения используем величину

,

Вычислим

= (0.4756, 0.4776, 0.2728, 0.1251, 0.5045, 0.8859, 2.5054, 1.1426).

Задаемся доверительным уровнем значимости ε = 0,05 и по таблице «хи-квадрат» распределения для числа степени свободы определяем критическое значение = 7,10. По сумме значений := 6.3895 Получаем < , и делаем вывод, что величина X распределена по нормальному закону.

Приведем таблицу сгруппированных измерений и промежуточных расчетов из приложения 1 в виде табл.1.:

Таблица 1

№ п/п	Граница интервала			Ф()
0	1	2	3	4	5	6	7
1 2 3 4 5 6 7 8	- ∞ : -2,5 -2,5 : -1,5 -1,5 : -0,8 -0,8 : 0,0 0,0 : 1,0 1,0 : 1,8 1,8 : 3,0 3,0 : ∞	0 4 7 13 15 8 11 0	- ∞ : -2,389 -2,389 : -1,579 -1,579 : -1,012 -1,012 : -0,364 -0,364 : 0,445 0,445 : 1,093 1,093 : 2,065 2,065 : ∞	0,0000 0,0082 0,0571 0,1562 0,3594 0,6700 08621 0,9803 1,0000	0,0082 0,0489 0,0991 0,2032 0.3106 0,1921 0,1182 0,0197	0,4756 2,8362 5,7478 11,786 18,014 11,142 6,8556 1,1426	0,4756 0,4776 0,2728 0,1251 0,5045 0,8859 2,5054 1,1426
Сумма		58			1,0000	58	6,3895

Проверим гипотезу с помощью критерия Колмогорова

1) Имеем выборку = (, .. , ), n = 58.

2) Грубых ошибок нет.

3) Разделим наблюдаемые значения случайной величины X 8 интервалов: (- ∞ : -2,5), (-2,5 : -1,5), (-1,5 : -0,8), (-0,8 : 0,0), (0,0 : 1,0), (1,0 : 1,8), (1,8 : 3,0), (3,0 : ∞) и вычислим статистическую функцию распределения по формуле F*(x) = (1/n) , где указывает, попало ли наблюдение X в область (- ∞, x]:

Таблица 2

	0	0.068	0.1896	0.4137	0.6724	0.8103	1.0	1.0
	-2.5	-1.5	-0.8	0.0	1.0	1.8	3.0	∞

Построим теоретическую функцию F(x) для нормального распределения:

4) По графику вычислим

_{t = 1.15.}

5) Зададим вероятность _{= 0.05} практически невозможного события и из таблиц распределения Колмогорова найдем параметр = 1.35.

6) t<_{, значит, гипотеза принимается.}

Выводы

При проверке распределения случайной величины X гипотеза о нормальном распределении исследуемой случайной величины была принята обоими критериями, значит, выборочные данные согласуются с гипотезой о нормальном законе распределения с доверительной вероятностью 0,95.