1. Формалізація простої мови програмування

Центральним завданням теорії, зокрема і теорії програмування, є визначення та дослідження її основних понять. Зробити це не так просто, бо в теоріях, як правило, використовується багато понять, які пов’язані одне з одним. Тому спочатку доцільно ввести основні поняття теорії програмування на невеликому прикладі. Це буде програма знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел. Програма записана на деякій простій мові. В цьому розділі ця мова буде формалізована, тобто буде описано її синтаксис та семантику. Також будуть досліджені деякі властивості програм цієї мови.

1.1 Неформальний опис простої мови програмування

Для посилання на певну мову треба надати їй ім’я. Для імені часто використовують абревіатуру короткої характеристики мови. Зважаючи на традиції використання латинських літер в науковій символиці, утворимо абревіатуру SIPL від характеристики SImple Programming Language (Проста Мова Програмування).

Цю абревіатуру можна розшифрувати трохи інакше, вказуючи на імперативність або структурованість цієї мови:

Simple Imperative Programming Language

Structured Imperative Programming Language

Говорячи неформально, мова SIPL має змінні цілого типу, над якими будуються арифметичні вирази та умови. Основними операторами є присвоєння, послідовне виконання, розгалуження, цикл.

Мова SIPL може розглядатися як надзвичайно спрощена традиційна мова програмування, наприклад, Паскаль. В мові SIPL відсутні типи, оператори вводу-виводу та багато інших конструкцій традиційних мов програмування. Разом з тим ця мова є досить потужною, щоб програмувати різні арифметичні функції, більше того, в цій мові можуть бути запрограмовані всі обчислювальні функції над цілими числами.

Приклад 1.1. Програма GCD знаходження найбільшого спільного дільника чисел M та N за алгоритмом Евкліда:

GCD 

begin

while MN do

if M>N then M:=M–N else N:=N–M

end

Оскільки програми призначені для обчислення результатів за вхідними даними, розглянемо неформально процес виконання цієї програми на вхідних даних, у яких M має значення 8, а N – 16. Вважаємо, що дані записуються в пам’ять, а оператори виконуються деяким процесором. Тому розмітимо програму, відмічаючи оператори мітками:

0: begin

1: while MN do

2: if M>N then 3: M:=M–N else 4: N:=N–M

end

Процес виконання програми можна подати у вигляді таблиці, кожний рядок якої вказує на номер виконуваного оператора та на нові значення змінних (детали процесу виконання можна знайти з книжках з основ програмування). Для нашого прикладу така таблиця може мати наступний вигляд.

Таблиця 1.1

Мітка	Значення умови	Значення M	Значення N
0		8	16
1	MN – true
2	M>N – false
4			8
1	MN – false

Програма припиняє роботу із значеннями M та N, рівними 8. Це число і є найбільшим спільним дільником.

Аналізуючи цю програму та процес її виконання, відзначаємо два аспекти:

• синтаксичний (текст програми),

• семантичний (смисл програми – те, що вона робить).

В нашому прикладі ні синтаксис, ні семантика не задані точно (формально). Ми маємо лише інтуїтивне розуміння програм мови SIPL. Тому важко відповідати на питання, які вимагають точного опису мови. Наприклад незрозуміло, чи можна поставити крапку з комою між оператором та символом end, що дозволяється робити в багатьох мовах програмування (синтаксичний аспект). Незрозуміло також, чи завжди наведена програма буде обчислювати найбільший спільник дільник для довільних значень M та N (семантичний аспект).

Щоб відповідь на такі питання стала можливою, необхідно надати строге (формальне) визначення нашої мови програмування. Лише тоді можна буде застосувати математичні методи дослідження програм та будувати відповідні системи програмування, зокрема транслятори та інтерпретатори.

Безумовно, уточнення (експлікацію) синтаксичного та семантичного аспектів можна давати по-різному. Ми спочатку розглянемо традиційні формалізми для опису мов.