3.2.2. Биномиальное распределение

Производится n независимых опытов, в каждом из которых может произойти (с вероятностью р) или не произойти (с вероятностью 1 - р) некоторое событие А, т.е. производится n независимых испытаний Бернулли. Повторные независимые испытания Бернулли называют схемой Бернулли. Схема названа в честь Я. Бернулли, доказавшего свою теорему в 1713 г., для такой последовательности испытаний.

Рассмотрим случайную величину X, равную числу "успехов" в схеме Бернулли.

Найдем вероятность Р_k того, что в n испытаниях Бернулли будет k "успехов", или, что то же самое, что случайная величина Х примет значение, равное k.

Рассмотрим событие В_k, состоящее в том, что Х = k, т.е. событие А появится в опытах ровно k раз.

Событие В_k может осуществляться различными способами. Разложим событие В_k на сумму произведений событий, состоящих в появлении или непоявлении события А в отдельном опыте. Будем

обозначать A_i появление события А в i-ом опыте; - непоявление события А в i-ом опыте.

Каждый вариант появления события В_k (т.е. каждый член суммы разложения события В_k) должен состоять из k появлений события А и n - k непоявлений, т.е. из k событий А и n - k событий с различными индексами. Таким образом,

причем в каждое произведение событие А должно входить k раз, а должно входить n - k раз.

Число всех комбинаций такого рода равно - числу способов, какими можно из n опытов выбрать k, в которых произошло событие А.

Вероятность каждой такой комбинации по теореме умножения для независимых событий, равна p_k(1 – p)ⁿ^–^k.

Так как комбинации между собой несовместны, то по теореме сложения, вероятность события В_k равна .

Таким образом, .

Эту формулу называют формулой Бернулли. Случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами р и n, если она принимает целочисленные значения от 0 до n с вероятностями , где — биномиальный коэффициент.

Кратно это записывают в виде Х ~ Bi (n, р). Построим график функции распределения в случае n=4; р=0,2.

Сначала запишем ряд распределения.

Проверим, выполнено ли основное свойство ряда распределения:

Р₀ + P₁ + Р₂ + Р₃ + Р₄ =0,4096+0,4096+0,1536+0,0256+0,0016=1.

Основное свойство выполнено. Теперь можно строить график функции распределения (рис. 3.3.).

Пример 3.2. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что из 5 посеянных зерен взойдет не меньше 4?

Решение. Обозначим Х - число взошедших семян из 5 посеянных. Ясно, что Х ~ Bi (5; 0,8), т.е. случайная величина Х имеет биномиальное распределение с параметрами n=5 и р=0,8.

Тогда или

Пример 3.3. Длительной проверкой качества стандартных деталей установлено, что 75% деталей не имеют дефектов. Составить биномиальное распределение числа пригодных деталей из взятых наудачу 6 деталей. Построить многоугольник распределения.

Решение. Из условия задачи Х ~ Bi (6; 0,75). Составим ряд распределения: