Индивидуальное задание 4 Обработка экспериментальных данных.

Выбор аппроксимирующей функции.

Определение параметров этой функции методом

наименьших квадратов.

Цель задания - изучение методики аппроксимации экспериментальных данных с использованием метода наименьших квадратов.

32

Варианты индивидуальных заданий в табл. 4

Порядок выполнения задания

1. Восстановить функциональную зависимость по математической модели, представляющей собой многочлен первой степени : j(x) = a₀ + a₁x. По величине коэффициента корреляции сделать заключение о целесообразности использования данной модели.

2. Восстановить функциональную зависимость по математической модели, представляющей собой многочлен второй степени : j(x) = a₀ + a₁x + а₂х² Результат представить графически. Произвести анализ полученного результата.

3. Оформить отчет и представить его к защите.

Табл. 4

Варианты индивидуального задания 4

____

Значения x_i=i*0.1 i=1,20 одинаковые для всех вариантов

	значение yi=y(xi)
i	вариант 1	вариант 2	вариант 3	вариант 4	вариант 5	вариант 6
1	5.998	6.031	5.348	6.456	5.567	6.323
2	5.980	6.041	5.156	6.198	5.198	6.001
3	5.970	6.067	5.096	6.003	5.001	5.897
4	5.851	6.191	5.001	5.936	4.876	5.576
5	5.769	6.257	4.986	5.741	4.598	5.308
6	5.672	6.378	4.761	5.598	4.373	5.173
7	5.358	6.645	4.598	5.373	4.401	4.908
8	5.400	7.015	4.372	5.198	4.115	4.915
9	5.312	7.153	4.258	5.009	3.896	4.709
10	5.391	7.256	4.198	5.109	3.907	4.517
11	5.199	7.371	4.072	4.981	3.568	4.506
12	5.095	7.598	3.961	4.798	3.375	4.498
13	5.076	7.643	3.752	3.576	3.178	4.371
14	5.036	7.786	3.534	2.498	3.236	4.182
15	5.029	7.815	3.296	2.056	2.908	3.954
16	5.015	7.867	3.197	1.978	2.506	3.503
17	5.021	8.011	3.081	1.753	2.307	3.478

33

	значение yi=y(xi)
i	вариант 1	вариант 2	вариант 3	вариант 4	вариант 5		вариант 6
18	5.019	8.153	2.990	1.538	2.296		3.501
19	5.024	8.296	2.576	1.296	2.184		3.400
20	5.053	8.361	2.387	1.178	2.006		3.382
i	вариант 7	вариант 8	вариант 9	вариант 10	вариант 11	вариант 12
1	3.88	15.86	1.38	-1.77	-2.45		10.56
2	3.71	11.56	2.35	-1.38	-2.98		9.48
3	3.75	10.88	3.48	-1.11	-3.07		8.31
4	3.69	10.36	4.57	-1.09	-4.31		7.98
5	3.58	9.31	5.86	-0.91	-4.91		6.54
6	3.49	9.02	6.47	-0.76	-5.17		5.38
7	3.41	8.57	7.88	-0.58	-5.41		4.96
8	3.37	8.36	8.36	-0.35	-5.84		3.56
9	3.21	8.11	9.15	-0.29	-6.01		2.93
10	3.16	7.15	10.06	-0.11	-6.24		1.48
11	3.09	6.97	11.17	-0.08	-6.45		0.96
12	2.98	6.41	12.48	-0.01	-6.76		1.94
13	2.74	7.13	13.56	0.37	-6.92		2.56
14	2.56	7.58	14.17	0.60	-7.13		3.46
15	2.48	8.11	15.41	0.78	-7.47		4.83
16	2.36	8.96	16.07	1.13	-7.59		5.67
17	2.25	9.15	17.31	1.58	-7.91		6.78
18	2.33	9.98	18.15	2.01	-8.18		7.36
19	2.21	10.57	19.2	2.38	-8.46		8.51
20	2.19	11.71	20.11	2.74	-8.70		9.96
i	вариант 13	вариант 14	вариант 15	вариант 16	вариант 17		вариант 18
1	20.48	3.88	-10.48	-0.01	-0.15		0.30
2	18.38	3.96	-9.93	-0.09	-0.38		0.50
3	17.15	4.01	-9.56	-0.17	-0.57		0.71
4	16.96	4.48	-9.13	-0.56	-0.91		0.92
5	15.37	4.91	-9.01	-0.78	-1.13		0.99
6	14.78	5.01	-8.84	-0.91	-1.56		1.01
7	13.11	5.36	-8.57	-1.10	-1.98		1.21
8	12.71	5.64	-8.32	-1.38	-2.06		1.43

34

	значение yi=y(xi)
i	вариант 13	вариант 14	вариант 15	вариант 16	вариант 17	вариант 18
9	11.56	5.97	-8.04	-1.43	-2.41	1.64
10	10.92	6.04	-7.78	-1.64	-2.87	1.82
11	9.01	6.43	-7.35	-1.87	-3.11	2.01
12	8.73	6.79	-7.19	-1.95	-3.45	2.24
13	7.64	7.01	-7.01	-2.01	-3.96	2.48
14	8.36	7.32	-6.48	-2.23	-4.17	2.56
15	9.56	7.57	-7.27	-2.48	-4.38	2.76
16	10.11	7.64	-8.54	-2.53	-4.67	3.01
17	11.37	7.98	-8.96	-2.64	-4.99	3.27
18	12.48	8.15	-9.13	-2.78	-5.06	3.49
19	13.56	8.49	-9.58	-2.83	-5.17	3.99
20	14.95	8.76	-10.02	-2.91	-5.38	4.07
i	вариант 19	вариант 20	вариант 21	вариант 22	вариант 23	вариант 24
1	-5.06	2.43	1.56	-10.37	2.14	0.96
2	-4.98	2.94	0.99	-9.58	2.38	1.17
3	4.51	3.48	0.41	-8.36	2.54	1.38
4	-4.17	3.87	0.09	-7.14	2.79	1.53
5	-3.91	4.56	-0.99	-6.93	2.96	1.74
6	-3.63	4.99	-1.15	-5.17	3.11	1.91
7	-3.22	5.43	-1.76	-4.81	3.38	2.04
8	-3.09	5.87	-2.13	-3.76	3.42	2.29
9	-2.87	6.28	-2.98	-1.15	3.99	2.78
10	-2.54	6.79	-2.98	-1.15	3.99	2.78
11	-2.91	7.11	-3.14	-0.95	4.17	2.44
12	-3.07	7.38	-3.36	0.17	4.31	2.23
13	-3.38	7.69	-3.59	1.36	4.59	2.11
14	-3.74	8.01	-3.84	0.98	4.74	2.02
15	-3.96	8.37	-4.02	-0.38	4.93	1.95
16	-4.17	8.74	-4.29	-1.13	5.08	1.71
17	-4.64	9.12	-4.35	-2.48	5.29	1.59
18	4.91	9.49	-4.46	-3.01	5.54	1.32
19	-5.07	9.91	-4.98	-3.76	5.78	1.14
20	-5.38	10.13	-5.06	-4.11	6.01	0.86

35

	значение yi=y(xi)
i	вариант 25	вариант 26	вариант 27	вариант 28	вариант 29	вариант 30
1	-2.09	-2.12	16.01	-1.77	-2.45	-1.61
2	-2.15	-1.96	15.76	-1.69	-2.57	-1.37
3	-2.37	-1.74	15.01	-1.58	-2.61	-1.29
4	-2.54	-1.69	14.58	-1.46	-2.78	-1.18
5	-2.96	-1.57	13.97	-1.37	-2.93	-1.05
6	-3.01	-1.46	13.41	-1.29	-3.01	-0.96
7	-3.38	-1.33	12.84	-1.17	-3.37	-0.56
8	-3.61	-1.29	12.37	-1.08	-3.49	0.26
9	-3.99	-1.17	11.91	-0.94	-3.54	0.05
10	-4.21	-1.10	11.05	-0.56	-3.71	0.27
11	-4.57	-1.05	10.82	-0.18	-3.98	0.70
12	-4.86	-0.96	10.54	-0.03	-4.05	1.15
13	-5.11	-0.78	11.15	0.11	-4.27	1.39
14	-5.38	-0.64	11.99	0.58	-4.58	1.98
15	-5.67	-0.59	12.54	0.94	-4.96	2.47
16	-5.98	-0.41	13.13	1.15	-5.07	2.89
17	-6.17	-0.32	14.01	1.37	-5.38	3.34
18	-6.41	-0.29	14.97	1.54	-5.64	3.57
19	-6.68	-0.15	15.17	1.98	-5.99	3.91
20	-6.84	-0.05	15.98	2.06	-6.07	4.21

Краткие сведения из теории и основные алгоритмы.

Пусть требуется исследовать зависимость y(x). Для этого проводят N опытов в точках x₁,x₂....x_n, в которых регистрируются значения отклика y₁,y₂....y_n. Совокупность значений:

х₁,x₂....x_n

y₁,y₂....y_n называется экспериментом

где n - число экспериментальных данных.

Задача заключается в восстановлении функциональной зависимости j(x)по результатам эксперимента.

В настоящее время существует два основных метода аппроксимации экспериментальных данных, заданных в виде таблицы.

Первый метод требует, чтобы аппроксимирующая кривая проходила через все точки, заданные таблицей.

36

Это задача интерполяции.

- интерполяционный многочлен Лагранжа

Недостаток метода - точность аппроксимации гарантируется лишь в небольшом интервале при условии, что значение функции в узлах задано с большой точностью. (рис 15)

Рис.15

Если погрешности измерения j(x₁) значительны и, кроме того, необходимо иметь единственную приближенную формулу y »j(x),(рис 15 ) пригодную для всей области определения аргумента х , то в этом случае нужно использовать метод наименьших квадратов.

Этот метод позволяет аппроксимировать данные такой функцией, которая справедлива во всем диапазоне табличных данных, и получить результат с одинаковой точностью во всем диапазоне измерений.

Причем кривая не обязательно должна проходить через все точки, но ее необходимо провести так, чтобы отклонения кривой от табличных данных были минимальными. (рис 16)

Обычно минимизируют сумму квадратов отклонений (S_R) между значениями функции, определяемыми выбранной кривой и табличными значениями, т.е.

___

y_i^Т = j( x_i, a₀, a₁, .... a_m ) и y_i, где i = I,N , поэтому такой метод называется методом наименьших квадратов.

тогда результаты эксперимента можно представить в виде

37

Рис.16

y = j( x_i, a₀, a₁, .... a_m ) + x_i

Часто j(x) выбирают в виде многочлена степени M<N :

j( x_i, a₀, a₁, .... a_m ) = a₀ + a₁x + а₂х² + ...... + a_mx^m =

где a0, a1, .... am - постоянные, но заранее неизвестные параметры, которые подлежат определению.

Для их нахождения производится ряд измерений :

___

(x_i, y_i), i = 1,N

Если бы x_i, y_i были определены абсолютно точно, то для нахождения (m+1) параметра a_j, j=0,m достаточно было бы выполнить (m+1) измерение, однако xi, yi определяются с некоторой погрешностью, поэтому для нахождения a_j производится большее число измерений.

Определение 1.

y_i = j( x_i, a₀, a₁, .... a_m ) + x_i называется системой условных уравнений.

Эта система будет несовместной, т.е. нет такой комбинации a₀, a₁,..a_m чтобы удовлетворялись одновременно все уравнения, поэтому следует искать наилучшее решение.

Задача метода наименьших квадратов (МНК) как раз и состоит в том, чтобы найти такие значения параметра a_j , при которых сумма квадратов отклонений найденного многочлена от заданных значений функции была минимальной:

38

B точке минимума функции S_R ее производные (по всем параметрам a_j

da_j

равны нулю).

Определение 2.

система нормальных (m+1) уравнений с(m+1) неизвестным.

Эта система решается методом Гаусса

Правило составления системы нормальных уравнений:

Каждое j-е нормальное уравнение получается путем умножения каждого условного уравнения на множитель, стоящий перед aj, и в результате дальнейшего сложения полученных уравнений.

Линейная регрессия

В качестве математической модели выбирается линейная зависимость:

Систему условных уравнений можно записать следующим образом:

___

y_i = a₀ + a₁x_i + x_i i = 1,N

Найдем параметры a0 и a1 методом наименьших квадратов. Для этого минимизируем функцию

Система нормальных управлений j =

Замечание:

Математическая модель справедлива для той области, для которой получена, т.е. на интервале [x₁,x_n].

Согласно правилу получим:

39

система двух уравнений с двумя неизвестными (а₀,а₁)

Введем обозначения

_ _

тогда из первого уравнения a₀ = y - a₁x

Подставим а₀ во второе уравнение, получим:

|/N

откуда

или

- дисперсия выражающая точность наблюдений

- коэффициент корреляции, характеризующий

степень зависимости между x и y |r_xy|£1

При |r|»1 зависимость между x и y линейная, причем при 0<r<1 экспериментальные данные расположены, в основном, в 1 и 3 квандрантах (рис 17 а), а при -1 < r < 0 - во 2-ом и 4-ом (рис 17 в)

Если |r|»0, то либо не существует зависимости между x и y; либо зависимость не линейная, а более высокого порядка (рис 17 с)

40

Рис. 17

Квадратичная аппроксимация

В качестве математической модели выбираем многочлен второй степени

j(x, a₀, a₁, a₂) = a₀ + a₁x + a₂x²

где a₀, a₁, a₂ - параметры подлежащие определению методом МНК

Из системы условных уравнений

y_i = a₀ + a₁x_i + a₂x_i² + x_i

Получаем систему нормальных уравнений вида:

41

Введем обозначения:

А(3,3) - матрица коэффициентов; В(3) - вектор свободных членов

N - число экспериментальных данных; M - число неизвестных

Матрица А симметричная относительно главной диагонали.

Замечание. Вектор В при входе в подпрограмму "GAUSS"-вектор свободных членов, при выходе - вектор неизвестных, т.е.

B(1)=a₀ B(2)=a₁ B(3)=a₁

Блок-схема алгоритма на рис. 18 и 19.