Лекция 9

Принцип построения тел. Рассмотренные тела иллюстрируют принцип построения математической модели тел. Эти тела называют твердотельными примитивами. К ним могут быть отнесены еще некоторые тела простой формы, например, треугольная призма (клин). Все тела построены по такому же принципу, что и твердотельные примитивы.

­Может возникнуть вопрос: для чего требуется так усложнять модель тела, в частности, для чего требуется строить ребра на кривых пересечения поверхностей. Действительно, тела можно было бы описать набором поверхностей, не используя ни грани, ни ребра, ни вершины. У реальных деталей эти поверхности могут иметь очень сложную форму, как в смысле кривизны, так и в смысле границ, и эти поверхности каким-то образом нужно построить. Одним из удобных способов построения поверхностей, описывающих тело, является способ одновременного построения всех требуемых поверхностей с помощью операций над телами. Для этого берется одно из простых тел, и далее в определенных местах к нему добавляется объем или от него отнимается объем. Например, для того чтобы просверлить отверстие в некотором теле, выполняется булева опера­ция вычитания из этого тела цилиндрического тела, играющего роль сверла. Аналогично выполняются пазы и вырезы. Для того чтобы сварить модели двух деталей, выполняется булева операция объединения тел. Использование топологических объектов необходимо для корректного выполнения этих операций. Пусть требуется отрезать от одного из описанных выше простейших тел некоторую часть и пусть резка производится плоскостью. Тогда мы вынуждены найти линии пересечения поверхностей тела с этой плоскостью и по этим ли­ниям обрезать поверхности тела и саму плоскость. Кроме того, нужно найти место стыковки обрезанной плоскости с частью исходного тела. Для плоскости нужно определить, какая ее сторона будет смотреть наружу тела, а какая — внутрь. Все это приводит к тому, что нужно знать топологию исходного тела и строить его по общим правилам.

При проектировании приходится рассматривать несколько вариантов деталей и сборочных единиц. Различные варианты одной и той же детали можно получить путем изменения требуемых параметров ее исходного варианта. Для этого в математической модели детали необходимо иметь информацию о пути и способах ее построения. Таким образом, геометрическая модель детали или сборочной единицы должна быть дополнена еще некоторой информацией о последовательности ее построения.

Последовательность моделирования тел

Моделирование некоторого объекта может включать построение одного тела или построение нескольких тел – сборки тел.

Создание одиночного тела начинается с построения или одного из простых тел, или тел на базе линий, или тела на базе поверхности. Эти способы построения тел приведены в левой части рис. 27. Если исходное тело создается на базе плоских линий, то для их построения используются конструктивные плоскости. Перед построением тела на базе поверхности нужно сначала создать исходную поверхность. Во многих случаях при построении поверхности также используются конструктивные плоскости. Далее путем выполнения операций, приведенных в правой части рис. 27, из исходного тела можно получить тело с более сложной оболочкой. Операции над телом могут выполняться многократно и в произвольной последовательности, что отражено на рис. 27.

Простые тела Операции над телами

Рис. 27. Способы построения тел

Процесс построения оболочки сложного тела близок к процессу изготовления моделируемого объекта. С помощью булевой операции объединения к телу можно добавить требуемый объём. Для этого нужно построить еще одно тело и объединить исходное тело с ним. Аналогично с помощью булевых операций пересечения или вычитания из тела можно убрать требуемый объём. От тела может быть отрезана лишняя часть объёма. Рёбра тела могут быть скруглены или с них могут быть сняты фаски. Из тела можно получит тонкостенное тело путем «вскрытия» одной или нескольких граней «и придания оставшимся граням конечной толщины». Для симметричных тел можно построить только одну половину тела, а затем получит требуемое тело с помощью операции создания симметричного тела. К телу могут быть добавлены ребра жесткости.

Из нескольких тел можно получит сборку тел. В сборке все тела равноправны. Для взаимного расположения и ориентации тел сборки можно использовать преобразования сдвига, поворота, масштабирования или симметрии.

Построение отдельных тел и сборок должно сопровождаться протоколом построения, который называют деревом построения. Дерево построения позволяет выполнять редактирование тел и их сборок, создавать наборы однотипных моделей и управлять ими.

Наряду с деревом построения для редактирования кривых линий, поверхностей, тел, сборок тел управления ими может использоваться механизм вариационных связей.

Контрольные вопросы по дисциплине

1. Понятие геометрического объекта.

2. Преобразование точек в пространстве.

3. Преобразование компонент двухмерных векторов.

4. Операции с точкой в пространстве.

5. Модификация векторов в пространстве.

6. Операции двухмерной точки.

7. Модификация двухмерных векторов.

8. Геометрия кривых линий.

9. Натуральная параметризация кривой.

10. Понятие сопровождающего трехгранника.

11. Понятие соприкасающейся окружности.

12. Геометрия двухмерных кривых.

13. Понятие эволюты и эвольвенты.

14. Геометрия поверхностей.

15. Математическая модель геометрии объектов.

16. Математическая модель кривых линий.

17. Аналитические линии: прямая, отрезок, плоские кривые, окружность, эллипс, гипербола, парабола, дуга, спираль.

18. Какой способ моделирования чаще всего используют при автоматизации проектирования и почему?

19. Назовите особенности описания поверхностей векторными функциями.

20. Приведите примеры векторных функций, описывающих следующие поверхности: торец, тор, цилиндр, конус.

Библиографический список

1. Голованов, Н.Н. Геометрическое моделирование / Н.Н. Голованов. – М.: Изд-во физико-математической литературы. - 2002. – 472 с. ISBN 5-94052-048-0

2. Норенков, И.П. Основы автоматизированного проектирования / И.П. Норенков. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана. - 2000. – 360 с. ISBN 5-7038-2090-1