46Асимптоты функции.

Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.

Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую.

Таким образом, график функции может пересекать асимптоту неограниченное число раз.

Виды асимптот графиков

1) Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .

2) Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .

3) Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов

1.) 2.) Порядок нахождения асимптот 1.) Нахождение вертикальных асимптот. 2.) Нахождение двух пределов 3.) Нахождение двух пределов :

если в п. 2.), то , и предел ищется по формуле горизонтальной асимптоты, .

56. Исследование функций и построение графиков.

Чтобы построить график функции, рекомендуется исследовать ее по следующей схеме:

1) найти область определения функции, промежутки непрерывности и точки разрыва;

2) найти асимптоты графика функции;

3) проверить симметрию графика, периодичность;

4) найти интервалы монотонности, экстремумы;

5) найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба;

6) найти точки пересечения с осями координат;

7)  провести в случае необходимости исследование на концах области определения;

8) построить график функции.

Замечание. В п. 3 проверяется симметрия графика относительно оси OY, которая имеет место в случае четной функции

или симметрия относительно начала координат для нечетной функции

Пример:

1)

т.е. наклонной асимптоты нет;

3)  график симметрией, периодичностью не обладает;

4) находимпри— подозрительная на экстремум, в точках, которые не входят в

Имеем таблицу:

(Поскольку натона наи 5) находиму " = О при ln х = 2x =— подозрительная на перегиб,в точках, которые не входят в Составимтаблицу:

61. Первообразная функции. Неопределенный интеграл.

Первоо́бразной (первообра́зной) или примити́вной функцией данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Для примера: F(x) = x³ / 3 является первообразной f(x) = x². Так как производная константы равна нулю, x² будет иметь бесконечное количество первообразных; таких как x³ / 3 + 45645 или x³ / 3 − 36 … и т. д.; таким образом семейство первообразных функции x² можно обозначить как F(x) = x³ / 3 + C, где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения C.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то: Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде интеграла без указания пределов:

Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, которая представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную с F(0) = 0.

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например: