8. Модели эпидемии

Модель распространения болезни без выздоровления («быстрая эпидемия»). Описывает ситуацию, при которой продолжительность болезни велика настолько, что при описании процесса распространения заболевания числом выздоровевших можно пренебречь.

Обозначения:

P — численность населения (константа);

P₀(t) — число здоровых;

P₁(t) — число больных.

Очевидно, P₀(t)  P₁(t)  P.

Процесс распространения заболевания описывается дифференциальным уравнением

Общее решение этого уравнения — логистическая функция

где постоянная C связана с начальным условием P₁(0) соотношением

2. Модель распространения болезни с выздоровлением без иммунитета. В прежних обозначениях процесс распространения описывается уравнением

или

где введено обозначение

Общее решение уравнения имеет вид

где постоянная C связана с начальным условием P₁(0) соотношением

3. Модель распространения болезни с выздоровлением и иммунитетом. В этом случае требуется различать изначально здоровых (не болевших), за которыми сохранится обозначение P₀(t), и выздоровевших, которые будут обозначены P₂(t). При любых t теперь выполняется равенство

P₀(t)  P₁(t)  P₂(t)  P.

Процесс распространения болезни и выздоровлений описывается системой дифференциальных уравнений

Пример

Интенсивность заражения	0.2
Интенсивность выздоровления	0.02
Начальное число больных	0.005

не болевшие больные выздоровевшие

Численное решение дифференциальных уравнений и систем. Проще всего воспользоваться методом Эйлера. Уравнение с одной неизвестной функцией

заменяется конечно-разностным уравнением

Аналогично, система дифференциальных уравнений

заменяется системой конечно-разностных уравнений

Применительно к рассматриваемой модели эпидемии система конечно-разностных уравнений имеет вид

при начальном условии P₁(0) = 0; P₂(0) = 0.

9. Модели миграции

1. Рассмотрим вначале два множества (кластера), численности которых x₁ и x₂. Введем характеристики подвижности ₁ и ₂: подвижность ₁ есть отношение величины потока (числа перемещающихся в единицу времени) покидающих множество 1 и направляющихся в множество 2; подвижность ₂ определяется аналогично. Динамика численностей описывается дифференциальным уравнением

Ясно, что x₁ + x₂  N  const. Равновесные численности (dx₁/dt  0, dx₂/dt  0):

2. Пусть число кластеров равно m, их численности x_i, i  1, …, m, подвижности теперь имеют направления: _ij, i, j  1, …, m, i  j.

Положим

_ii  (1)

определим матрицу  (_ij)_{m m} и вектор-строку x  (x_i)_{1 m}. В этих обозначениях

.

Равновесные численности должны отвечать системе x  0; но матрица  — вырожденная (1  0), и если вектор x  0 — равновесный, то и вектор kx — также равновесный при любом k  0. Поэтому система x  0 определяет лишь равновесные пропорции, а для равновесных численностей следует задать еще и общую численность

3. Помимо m множеств рассматривается еще и внешняя среда. Она предполагается «большой» в том смысле, что число объектов в ней велико (≈ ∞), подвижность в направлении рассматриваемых множеств ничтожна (≈ 0), так что к i-му кластеру направлен поток с конечной интенсивностью _i , а от i-го кластера во внешнюю среду направлен поток, определяемый подвижностью _{i, m + 1}; ни тот, ни другой поток не изменяют численности объектов во внешней среде.

С учетом обозначения (1) теперь динамика численностей описывается системой уравнений

При этом суммы в (1) должны содержать слагаемые _{i, m + 1}. Ввод в рассмотрение вектора-строки   (_i)_{1 m} позволяет описать динамику равенством

Равновесные численности теперь описываются системой  + x  0.

Пример. Пусть m  3, ₁₂  0.1, ₁₃  0.2, ₂₃  0.4, ₂₄  0.3, ₃₁  0.5; таким образом,

Входные потоки: ₁  400, ₃  200, так что   (400, 0, 200). (Не указанные числовые значения равны нулю.) Равновесные значения численностей определяются условием

Решением этой системы уравнений служат равновесные численности

x₁  1400; x₂  2000; x₃  7600.

Решение представлено на рисунке. Над кластерами жирным шрифтом показаны равновесные численности, над дугами показаны равновесные интенсивности потоков.