Признак Даламбера

Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел .

Тогда: 1) при D < 1 ряд сходится;

2) при D > 1 ряд расходится

( при D = 1 признак Даламбера не дает ответа о сходимости ряда).

Пример 5. Исследовать ряды на сходимость:

а) .

Решение. ; .

Вычислим .

Следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.

Ответ: сходится.

б) .

Решение. ; .

Вычислим

>1.

Следовательно, ряд расходится по признаку Даламбера.

Ответ: расходится.

в) .

Решение. ; .

Вычислим.

Следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.

Ответ: сходится.

Радикальный признак Коши

Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел .

Тогда: 1) при С < 1 ряд сходится;

2) при С > 1 ряд расходится

( при С = 1 признак не дает ответа о сходимости ряда).

Пример 6. Исследовать ряды на сходимость:

а).

Решение. Общий член ряда .

Вычислим >.

Следовательно, ряд расходится по радикальному признаку Коши.

Ответ: расходится.

б).

Решение. Общий член ряда .

Вычислим .

Следовательно, ряд сходится по радикальному признаку Коши.

Ответ: сходится.

в).

Решение. Общий член ряда .

Вычислим

.

Следовательно, ряд сходится по радикальному признаку Коши.

Ответ: сходится.

Интегральный признак Коши

Пусть дан ряд с положительными членами такой, что члены ряда монотонно убывают и функция , непрерывная при такая, что .

Тогда и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Пример 7. Исследовать ряды на сходимость:

а) .

Решение. Положим . Эта функция удовлетворяет всем требованиям интегрального признака Коши.

Рассмотрим несобственный интеграл.

― число.

Tак как несобственный интеграл сходится, то и исходный ряд сходится по интегральному признаку Коши.

Ответ: сходится.

б).

Решение. Положим . Эта функция удовлетворяет всем требованиям интегрального признака Коши.

Рассмотрим несобственный интеграл

.

Следовательно, несобственный интеграл расходится, тогда и ряд

расходится по интегральному признаку Коши.

Ответ: расходится.

Знакочередующиеся числовые ряды

Ряд вида , где , называется знакочередующимся рядом. Для знакочередующегося ряда справедлива теорема Лейбница.

Теорема Лейбница

Если для знакочередующегося ряда выполняется 1) ; 2) , то ряд сходится и его сумма S удовлетворяет условию .

Наряду со знакочередующимся рядом рассмотрим ряд из абсолютных величин , члены которого – положительные числа. Если ряд из абсолютных величин сходится, то знакочередующийся ряд тоже сходится и называется абсолютно сходящимся. Если ряд из абсолютных величин расходится, а знакочередующийся ряд сходится (по теореме Лейбница), то называется условно сходящимся.

Исследовать знакочередующиеся ряды на абсолютную и условную сходимость можно по следующей схеме:

1. Вычислить. Если , то ряд расходится по достаточному признаку расходимости и исследование этого ряда закончено.

2. Составить ряд из модулей ― знакоположительный числовой ряд. Используя признаки сходимости рядов с положительными членами, исследовать его на сходимость. Если ряд из модулей сходится, то исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно и исследование этого ряда закончено.

3. Проверить выполнение условий теоремы Лейбница для знакочередующихся рядов. Если условия выполнены, то знакочередующийся ряд сходится условно, если нет – то расходится.

Пример 8. Исследовать знакочередующиеся ряды на абсолютную и условную сходимость.

а) .

Решение. Общий член ряда .

1. Проверим. Следовательно, исходный ряд расходится по достаточному признаку расходимости.

Ответ: расходится.

б) .

Решение. Общий член ряда .

1. Проверим .

2. Составим ряд из модулей ― знакоположительный числовой ряд, и применим к нему интегральный признак Коши. Положим . Эта функция удовлетворяет требованиям интегрального признака Коши. Рассмотрим несобственный интеграл =

= число.

Следовательно, несобственный интеграл и ряд из модулей сходятся одновременно по интегральному признаку Коши. Поэтому исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Ответ: сходится абсолютно.

в) .

Решение. Общий член ряда .

1. Проверим .

2. Составим ряд из модулей, ― знакоположительный ряд, и применим к нему второй признак сравнения. Для сравнения возьмём расходящийся обобщённый гармонический ряд с общим членом .

Вычислим. Следовательно, оба ряда расходятся одновременно и абсолютной сходимости исходного знакочередующегося ряда нет.

3. Проверим выполнение условий теоремы Лейбница для знакочередующихся рядов:

а) (это условие проверено в п.1);

б) Последовательность убывает .

Проверим монотонное убывание с помощью производной:

при любых значениях n.

Следовательно, последовательность убывает. Оба условия теоремы Лейбница выполняются и исходный знакочередующийся ряд сходится условно.

Ответ: сходится условно.