11.Складний рух твердого тіла

для опису руху вільного твердого тіла треба задать шість незалежних кінематичних рівнянь: x₀= x₀(t), y₀= y₀(t), z₀= z₀(t); , ʋ = ʋ(t), φ=φ(t). три координати полюса x₀ ,y₀ ,z₀ і три ейлерових кутів , ʋ , φ як функції часу.

Радіус-вектор, який визначає рух довільної точки твердого тіла, визначається формулою =₀+ Оскільки рух точки в штрихованій і нештріхованій системах, можна повторити для точки твердого тіла з координатами х',у',z', з тією лише умовою, що r' - постіний вектор у штрихованої системі. Отже справедлива формула для швидкості точки відносно нерухомої системи:

=₀+[] (1)

У загальному випадку рух твердого тіла може бути представлено як поступальний рух додаткової системи координат О'хyz з початком в полюсі О 'і обертове навколо нерухомої точки в цій системі. У такому випадку у формулі (1) перший доданок відноситься до поступального руху, а решта - до обертового.

Обертове прискорення виявляється тангенціальним: ,

а доцентрове-нормальним: a_n=оскільки точка рухається по деякому відомому колу.

Складання швидкостей і прискорень може бути перенесено на одну зі складових руху твердого тіла - на рух його полюса.

Перш за все математичні операції складання і розкладання кутових швидкостей можна Трактувати з точки зору відносного руху. Оскільки

=₁+₂ то можна рахувати ₁ кутовий швидкістю переносного руху, тобто кутовой швидкістю обертання по рухомій, штриховій, системи в нерухомій, нештрихованій, системі, ₂- кутовий швидкістю обертання тіла в рухливій системі. Тоді кутова швидкість тіла в нерухомій системі.

При додаванні обертальних рухів можливі два випадки: миттєві осі складаємих обертань перетинаються між собою і не перетинаються. У першому випадку за звичайним правилом додавання визначає суму векторів і знаходиться нова миттєва вісь.

Для аналізу другого випадку розглянемо обертання твердого тіла навколо паралельних осей з рівними за величиною, але протилежними за напрямом кутовими швидкостями ₁. ₂ .Така сукупність кутових швидкостей утворює пару обертів. Неважко бачити, що пара обертань дає поступальний рух. Дійсно, нехай А і В - які-небудь точки на миттєвих осях складових обертань (рис. 3.4).

Тоді швидкість будь-якої точки тіла в складному русі буде дорівнює:

= [₁ ]- [₁ ]= [₁ -)]=[₁ ] або =[₂ ]

Отже, швидкості всіх точок тіла однакові і пара обертання еквівалентна поступальної швидкості: = [ ]

Швидкість результуючого поступального руху перпендикулярного до площини пари векторів і - .I спрямована так, що з напрямком векторів пари утворюють правий гвинт. Вектор називається моментом пари. Величина моменту пари визначається похідною плеча пари на величину кутової швидкості: ʋ=d

У загальному випадку два складаємих обертань мають швидкості ₁ і₂ , що лежать на перехресних прямих (рис. 3.6).

Розкладаючи вектор ₂ та ₂'= -₁ і ₂'' маємо пару з моментом = [₁ ] I обертання з кутовою швидкістю ₂''

Отже, будь-яке складне рух тіла в будь-який момент часу можна представити як поступальний рух зі швидкістю полюса і обертальний навколо осі, що проходить через полюс.