Власт. Визн. Інт., вираж. Рівн.

1) Величина визначен. інт. не зміниться від позначення зміної інтегрування:

2) Визнач. інтегр. з однаковими межами інтегр. = 0:

3) При заміні місцями меж інтегр. визнач. інтегр. змінює знак на протилежний:

4) Якщо ф-ія f(x) інтегр. на [a,b] і с є [a,b], то:

Довед. оскільки інтегральні суми не залежать від способу розбиття відрізка [a,b] візьмемо таке розбиття, щоб с була однією з його точок. Нехай тоді

Перейшовши у рівн.(2) до границі при одерж.(1).

5) Сталий множник можна виносити за знак визнач. інтегр.:

Довед.

6) Визнач. інтегр. від суми інтегр. на [a,b] ф-ій = сумі інтегр. від цих ф-ій:

Довед.

71.Власт. Визн. Інт. Виражені нерівн. Теор. Про сер. Знач ф-ії.

7) Якщо ф-ія f(x) інтегровна на [a,b] і то

Довед. довільна інт. сума для ф-ії f(x) задовольн. нер.:

Тоді і інт.

8) Якщо ф-ії f(x) i g(x) інтогр. на [a,b] і то:

Довед. розглян. ф-ію

Звідси:

9) Нехай ф-ія f(x) інтегр. на [a,b]. Тоді:

1) |f(x)| інтегр. на [a,b] ф-ія;

2)

1) твердж. без довед.

Довед. 2): очевидна нерівн.

Тоді за властив. 8: Звідси:

10) Якщо ф-ія f(x) інтегр. на [a,b] і то

Довед. За власт. 8 оскільки Оскільки

11) Якщо ф-ія f(x) інтегр. на [a,b] і

Безпосередньо випливає із попередньої властивості.

12) Теор.(про середнє знач. Ф-ії)

Нехай ф-ія f(x) неперервна на [a,b]. Тоді існує т.сє[a,b] така,що:

Довед.: якщо ф-ія f(x) неперевна, то згідно з достатньою умовою інтегр., вона буде інтегр. на [a,b]. Крім того за теор. Вейерштр. f(x) набуває на [a,b] свого найменьш. m і найбільш. M значень. Тоді за власт. 11 виконується нерівність:

або Оскільки за теор. про проміжне знач. неперевн. ф-ії або

Звідси:

72.Інтегр. Із змінною верхнюю межою інтегр. Теор. Наслідок.

Нехай f(x) непер. на [a,b], тоді ця ф-ія буде інтегр. на будь-якому відр. [a,x], де Тобто існує інтеграл . Ми познач. зміну інтегр. через t, щоб не плутати її з верхньою межою інтегр. Вказаний інтегр. є ф-ією від х: і = площи заштрихов. фігури:

ОЗН.: інтегр.(1) наз. інтегр. із зміною верхньою межою інтегр.

Теор. Похідна від інтегр. із зміною верх. меж. інтегр. від неперевн. ф-ії = підінтегрільній ф-ії, в якій зміна інтегр. замінена верхн. межою:

Довед.

Тоді: Оскільки за умовою теор. підінт. ф-ія в інтегр.(3) неперервна застосуємо до цього інтегр. теор. про середнє значеня

За означ. похідної:

Насл. Будь-яка неперервна ф-ія має первісну. Однією з цих первісних є інтеграл із зміною верхньою межою (1)

Довед. за означ. будь-яка ф-ія F(x) є первісною ф-ії f(x), якщо F`(x)=f(x). За теор. Ф`(x)=f(x). Тобто Ф(х) є первісною ф-ії f(x). Як відомо всі первісні ф-ії f(x) відрізняються одна від одної на сталу, тому для будь-якої первісної F(x) справедлива форм.

F(x)+c=Ф(х) або