4.2. Системы линейных уравнений. Матричный метод. Правило Крамера. Метод Гаусса

Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными вида

(4.1)

или, в матричной форме

А Х = В,

где

Рассмотрим некоторые методы решения системы (4.1).

Формулы Крамера. Если система (4.1) невырождена, то она имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера:

где – определитель, получаемый из определителя заменой его i-го столбца на столбец В свободных членов.

Матричный метод.

Решение невырожденной системы (4.1) можно найти по формуле .

Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

С помощью элементарных преобразований над строками система m линейных уравнений с n неизвестными может быть приведена к виду

, (4.2)

где

Система (4.2) эквивалентна исходной системе. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система (4.2), а следовательно, и исходная система несовместны. Если же то система совместна и из уравнений (4.2) выражают последовательно неизвестные через .

Пример 4.2. Методом Гаусса решить систему

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид

Производя элементарные преобразования над строками расширенной матрицы, получаем

где цифрами обозначены следующие операции:

– первую и вторую строки поменяли местами; – ко второй строке прибавили первую, умноженную на (–2); к третьей прибавили первую, умноженную на (–3); – к третьей строке прибавили вторую, умноженную на (–1).

Этой матрице соответствует система

Отсюда последовательно находим

Ответ:

Пример 4.3. Решить систему уравнений

используя формулы Крамера.

Решение. Так как определитель данной системы

то матрица А невырождена и система имеет единственное решение.

Находим определители

По формулам Крамера находим решение системы:

4.3. Скалярное произведение векторов в r3

Скалярным произведением векторов и называется число, обозначаемое или и равное где – угол между и .

Свойства скалярного произведения:

1. 2.

3. 4.

Свойство 4 выражает условие ортогональности векторов.

Если векторы и представлены своими координатами в ортонормированном базисе , то скалярное про-изведение равно

Из этой формулы и определения скалярного произведения следует:

Учитывая, что где – проекция вектора на вектор , а скалярное произведение векторов можно записать в виде

Пример 4.4. Даны векторы Найти .

Решение.

Поскольку

а векторы заданы координатами в ортонормированном базисе, то

Поэтому

Механический смысл скалярного произведения: работа А, про-изводимая силой точка приложения которой перемещается из точки в точку вычисляется по формуле

4.4. Векторное произведение векторов

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если при наблюдении из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки; в противном случае тройка называется левой (рис. 4.1).

Рис. 4.1: а – тройка правая; б – тройка левая

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор удовлетворяющий условиям:

1) – угол между векторами и ;

2)

3) Упорядоченная тройка – правая.

Обозначение:

Свойства векторного произведения

1)

2)

3)

4) – условие коллинеарности векторов.

Если векторы заданы своими коорди-натами в ортонормированном базисе , то

Площадь параллелограмма, построенного на векторах мож-но определить по формуле

Пример 4.5. Найти площадь и длину высоты BD треугольника с вершинами в точках А(1, –2, 8), В(0, 0, 4), С(6, 2, 0).

Решение. Поскольку площадь S треугольника АВС равна , то .

Рис. 4.2

1. Находим координаты векторов и длину вектора :

2. Находим S:

3.

Механический смысл векторного произведения. Пусть точка А твердого тела закреплена, а в его точке В приложена сила . Тогда возникает вращательный момент (момент силы). По определению момент силы относительно точки А находится по формуле .