17 Парабола

Параболою називають множину точок площини для кожної з якої відстань до деякої фіксованої точки яка називається фокусом що дорівнює відстані до фіксованої прямої яка називається директрисою

Вісь симетрії параболи в даний випадок вісь х називається факальною вісью параболи

18 Зведення загального рівняння другого порядку до канонічного виду

Загальне рівняння кривої другого порядку має вигляд Ах²+2Вху+Су²+2Dх+2Eх+F=0

Щоб зменшити кількість доданків у цьому рівнянні використовуємо два основні перетворення

1)х=х₀+х^’

у=у₀+у’

2) х’=х’’cos - y’’ sinα

y‘=x’’sinα + y’’cosα

твердження-цим перетворенням завжди можна позбутись доданку ху. Якщо крім того АC-B²≠0 то також можна позбутись доданків ху.

Це твердження спирається на інший факт. При обох заданих перетворень вираз АС-В² не змінюється тобто є інваріантом

Доведення зробимо паралельне перенесення

Х=х₀+х’

У=у₀+у’

Тоді рівняння набуде вигляду

А(х₀+x’)²+2B(x₀+x’)(y₀+y’)+C(y₀+y’)²+2D(x₀+x’)+2E(y₀+y’)+f=0

Якщо виділити доданки другого степеня то будемо мати

A(x₀²+2x₀x’+x’²)+2B(x₀y₀+x₀y’+x’y₀+x’y’)+C(y₀²+2y₀y’+y’²)+…=0

Ax’²+2Bx’y’+Cy’²+…=0

Бачимо що коефіцієнт в других степенях не змінилися.

Тепер зробимо поворот

A(x’cosα-y’sinα)²+2B(x’cosα-y’sinα)(x’sinα+y’cosα)+C(x’sinα+y’cosα)²+…=0

X’²(Acos²α+2Bsinαcosα+Csin²α)+x’y’(-2Acosαsinα+2B(cos²α-sin²α)+2Csinαcosα)*y’²(Asin²α-2Bsinαcosα+Ccos²α)+…=0

A’=Acos²α+2Bsinαcosα+Csin²α

B’=(C-A)’ sinαcosα+B(sin²α-cos²α)

C’=A sin²α-2B sinαcosα+C cos²α

Якщо обчислити A’C’-B’² то буде =AC-B² тобто не зміниться при цьому перетворення

Зокрема з цього видно як позбутися добутку ху

В=0

(C-A) sinαcosα+B(sin²α-cos²α)=0

B cos2α=1/2(A-C)sin2α

(A-C)sin2α=2Bcos2α –формула для підбору кута повороту

Тепер зясуємо як позбутися доданків ху паралельним перенесенням

A’(x’+a)²+2B(x’+a)(y’+b)+C(y’-b)²+2D(x’+a)+2E(y’+b)+F=0

Ax’²+2Bx’y’+Cy’²+x’(2Aa+2Bb+2D)+xy’(2Ba+2Cb+2E)+(Aa²+2Bab+Cb²+2Da+2Eb+F)=0

Щоб доданки першого степеня зникли потрібно щоб

D’=E’=0

Aa+Bb+D=0

Ba+Cb+E=0

Отже дана система відносно невідомих ab повина мати розв’язок. Він гарантовано не існує

∆=A B /B C=AC-B²≠0 у цьому випадку паралельне перенесення знищує перші степені.

19 Загальне рывняння площини, кут між площинами, умови паралельності, та перпендикулярності.

Площина — алгебраїчна поверхня першого порядку: в декартовій системі координат площина може бути задана рівнянням першого степеня. Загальне (повне) рівняння площини: де A,B,C та D — сталі, при чому A,B і C не всі рівні нулю; у векторній формі: де — радіус-вектор точки M(x,y,z), вектор перпендикулярний до площини (нормальний вектор). Напрямні косинуси вектора :

Нормальне (нормоване) рівняння площини

Якщо один з коефіцієнтів в рівнянні площини дорівнює нулю рівняння називаєтся неповним. При D = 0 площина проходить через початок координат, при A = 0 (або B = 0, C = 0) площина паралельна осі Ox (відповідно Oy чи Oz). При A = B = 0 (A = C = 0, чи B = C = 0) площина паралельна площині Oxy (відповідно Oxz чи Oyz). Кут між паралельними площинами вважається таким, що дорівнює . Проведемо площину, перпендикулярну до прямої їх перетину. Ця площина перетинає дані площини по двох прямих. Кут між цими прямими називається кутом між даними площинами. Дві площини називаються перпендикулярними, якщо двогранний кут між ними дорівнює 90 градусам. Теорема 1. Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом іншим перпендикулярним прямим, то інші прямі теж перпендикулярні. Теорема 2. Через будь-яку точку прямої у просторі можна провести безліч перпендикулярних до неї прямих. Паралельними (рівнобіжними) прямими називають прямі, котрі лежать в одній площині і або збігаються, або не перетинаються. В деяких шкільних означеннях, щоправда, паралельні прямі не можуть збігатись, але тут цей факт не береться до уваги.