2.3. Типовые задачи

В разделе 1 было получено уравнение плоскости проходящей через точку М₀(x₀,y₀,z₀) и с вектором нормали , где A²+B²+C²>0:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀)=0. (*)

Рассмотрим теперь другие способы задания плоскости в пространстве.

Задача 1. Написать уравнение плоскости π, проходящей через три заданные точки М₁(x₁,y₁,z₁), М₂(x₂,y₂,z₂) и М₃(x₃,y₃,z₃) (рис. 5).

Рис. 5

Решение: Чтобы написать уравнение искомой плоскости, достаточно знать координаты какой-либо точки на плоскости и координаты вектора нормали (уравнение (*). Точкой на плоскости может быть любая из заданных точек М₁, М₂ или М₃, а вектором нормали может быть векторное произведение векторов [].

Поставленную задачу можно решить другим способом. Пусть М(x,y,z) - текущая точка на плоскости π. Тогда векторы =(x-x₁,y-y₁,z-z₁), =(x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁) и =(x₃-x₁,y₃-y₁,z₃-z₁) лежат на плоскости π (компланарны). Условие компланарности этих векторов (равенство нулю их смешанного произведения) задает уравнение искомой плоскости π:

. (21)

Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(1,1,1), М₂(3,2,-1) и М₃(4,1,0).

Для решения задачи воспользуемся вторым способом. Уравнение плоскости запишем в виде (21)

.

Разложив определитель по первой строке, получим

или

– уравнение искомой плоскости с .

Заметим, что векторное произведение векторов =(2,1,–2) и =(3,0,–1) коллинеарно вектору нормали .

Действительно,

.

Задача 2. Написать уравнение плоскости π, проходящей через точку М₀(x₀,y₀,z₀) и прямую L (рис. 6): , если точка M₀ не лежит на прямой L (иначе плоскость однозначно не определена). Точка М₁(x₁,y₁,z₁) принадлежит L, вектор – направляющий вектор.

Рис. 6

Решение: Заданной точкой в уравнении (*) может быть любая из точек М₁ или М₀. Вектором нормали  может служить векторное произведение векторов и :

=(A,B,C).

Задача 3. Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые.

и

т. M₁ (x₁,y₁,z₁),

т. M₂ (x₂,y₂,z₂) ,

вектор – направляющий вектор прямых L₁,L₂ (рис. 7).

Рис. 7

Вновь используем уравнение (*).

Точка на плоскости – любая из точек М₁ или М₂; вектором нормали =(A,B,C) может быть векторное произведение [,].

Задача 4. Доказать, что две прямые L₁, L₂ лежат в одной плоскости (пересекаются) и составить уравнение этой плоскости.

Решение задачи рассмотрим на примере.

Пусть и .

1. Проверим, лежат ли прямые L₁ и L₂ в одной плоскости. Для этого убедимся, что векторы , и компланарны.

Запишем параметрически заданную прямую L₂ в каноническом виде

,

здесь М₂(7,2,1) – точка на прямой L₂, – ее направляющий вектор.

На прямой L₁: М₁(1,-2,5); . Вектор =(6,4,–4) (рис. 8).

Рис. 8

Условием компланарности является равенство нулю смешанного произведения

,

т.к. в полученном определителе две строки совпадают (при вычислении определителя общие множители первой строки и последнего столбца вынесены за знак определителя).

Итак, мы убедились, что прямые L₁ и L₂ пересекаются.

Точка плоскости π – любая из точек М₁, М₂ (возьмем, например, точку М₁(1,–2,5)).

Вектор нормали =(А,B,C)= []== – 2+16+13.

Уравнение искомой плоскости π:

– 2(x – 1) + 16(y + 2) + 13(z – 5) = 0, или

2x – 16y – 13z + 31 = 0.

Задача 5. Определить взаимное расположение прямой L, заданной как пересечение двух непараллельных плоскостей:

L:

и плоскости π: A₃x+B₃y+C₃z+D₃=0.

Решение: Возможны следующие случаи:

а) прямая L и плоскость π не пересекаются (прямая параллельна плоскости и не имеет общих точек с плоскостью);

б) прямая L пересекается с плоскостью в единственной точке;

в) прямая L лежит в плоскости – бесчисленное множество общих точек.

Эти задачи фактически были рассмотрены в разделе 2, когда прямая задавалась параметрическими или каноническими уравнениями.

Вообще говоря, нет надобности переходить от общего уравнения прямой к каноническому. Алгебраически задача сводится к исследованию и решению (если это возможно) системы уравнений

. (22)

Решение этой системы определяет координаты общих точек прямой и плоскости.

Воспользуемся методом Крамера. Обозначим определитель системы (22)

а определитель Δ₁, Δ₂, Δ₃, полученные из Δ с помощью столбца свободных членов, соответственно:

.

Если определитель , то система (22) имеет единственное решение, и оно определяется по формулам Крамера:

,

имеет место случай (б).

Если определитель , а хотя бы один из определителей Δ₁, Δ₂ или Δ₃ отличен от нуля, система (22) не имеет решения (не совместна). Геометрически это означает, что прямая и плоскость не имеют общих точек (параллельны) – случай (а).

Если же все определители Δ =Δ₁=Δ₂=Δ₃=0, то система (22) имеет бесчисленное множество решений. Прямая L целиком лежит на плоскости π (случай в)).

Задача 6. Определить точку Q, симметричную точке M₀(x₀,y₀,z₀), относительно плоскости

π: Ax+By+Cz+D=0

Решение. Запишем алгоритм решения задачи.

1. Составим уравнение прямой L, проходящей через точку M₀(x₀,y₀,z₀) и перпендикулярной плоскости π. Направляющим вектором этой прямой послужит вектор нормали

.

2. Найдём точку пересечения M₁(x₁,y₁,z₁) прямой L и плоскости π (см. раздел 2).

3. Точка M₁ является серединой отрезка M₀Q, и координаты точек M₀, M₁ и Q связаны формулами: x₁=,y₁=,z₁=, откуда найдем координаты точки Q(x₀,y₀,z₀) (рис. 9):

x_Q=2x₁ – x₀, y_Q=2y₁ – y₀, z_Q=2z₁ – z_0.

Рис. 9

Аналогично решается и следующая задача.

Задача 7. Найти точку Q, симметричную точке M₀(x₀,y₀,z₀) относительно прямой

.

Решение.

1. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀,y₀,z₀) перпендикулярно прямой L. Вектором нормали к этой плоскости (A,B,C) возьмем направляющий вектор =(l,m,n) прямой L.

π: l(x – x₀) + m(y – y₀) + n(z – z₀)=0.

2. Найдем точку пересечения M₁(x₁,y₁,z₁) прямой L и плоскости π (см. раздел 2).

3. Точка M₁ – середина отрезка M₀Q, координаты точки Q определяются так же, как и в задаче 6.