Пример выполнения заданий

1. Построение полинома Лагранжа для таблично заданной функции.

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной в табл. 6.1.

Таблица 6.1

	1.1	1.5	2.0	2.6
	0.0953	0.4055	0.6931	0.9555

Используя полученный интерполяционный многочлен, вычислить приближённо значение в точке .

Для построения интерполяционного многочлена используем формулу (6.3) при . В результате получаем многочлен третьей степени , который в узлах интерполяции совпадает с табличными значениями исходной функции:

.

Проверяем условия :

1) .

Подставляем в полученный многочлен:

;

2) :

;

3) :

;

4) :

.

Вычисляем ,.

2. Построение полинома Лагранжа в пакете mathcad.

Построение дробно-рациональных функций Лагранжа с использованием программного блока:

Полином Лагранжа можно записать так:

_{Проверка основного условия интерполяции:}

_{График полученных результатов может быть таким:}

Полином Лагранжа можно записать и по-другому:

,

где vx, vy – векторы, заданные табличные значения.

1. Пример построения полинома Лагранжа в пакете matlab.

function yy=lagrange(x,y,xx)

% число узлов интерполяции

N=length(x);

% число узлов, в которых высчитывается значение интерполяционного полинома

N_res=length(xx);

% создание нулевого массива значений интерполяционного полинома

yy=zeros(size(xx));

for k=1:N

% вычисление функции Лагранжа Li(X)

Li=ones(size(xx));

for j=[1:k-1, k+1:N]

for i=[1:N_res]

Li(i)=Li(i).*(xx(i)-x(j))/(x(k)-x(j));

end

end

% накопление суммы

yy = yy + y(k)*Li;

yy

end

2. Пример использования узлов Чебышева.

Заданная функция f(x) табулируется на интервале [-1,1] двумя способами: с шагом 0.2 и в узлах Чебышева. На двух полученных сетках строятся полиномы Лагранжа. Результаты визуализируются с помощью графиков. На графике, приведенном ниже, видно значительное отклонение полинома Лагранжа, построенного на сетке с шагом 0.2, от исходной функции и более приемлемое приближение функции для полинома, построенного на узлах Чебышева:

исходная функция:

Узлы Чебышева:

3. Пример вычисления погрешности интерполирования.

Анализ погрешности замены исходной функции интерполяционным многочленом для таблиц с постоянным шагом: