2. Примеры построения эпюр перерезывающих сил и изгибающих моментов

Пример 1. Построить эпюры Q и М для балки при Р = 20 кН; М₀= 20 кНм; а = 0,5 м; b = 1,5 м, рис.1, а.

Для определения Q и М в любом сечении балки необходимо задать все внешние силы, действующие на балку, т.е. приложенные нагрузки и опорные реакции.

Величину и направление опорных реакций в статически определимых балках определяют из уравнений статики. Начало координат располагают обычно в центре тяжести крайнего левого сечения, например, в точке А (см. рис.1, а), ось Y направляют вертикально вверх, а ось Х - горизонтально вправо (по оси балки). На шарнирно-неподвижной опоре А неизвестную по величине и направлению реакцию заменим двумя составляющими: Y_A - вертикальной, перпендикулярной оси балки, и Х_А - горизонтальной, направленной по оси Х. На шарнирно-подвижной опоре В реакция Y_B направлена перпендикулярно оси балки.

Д ля плоской системы сил, не пересекающихся в одной точке, можно составить, в общем случае, три уравнения статического равновесия. Уравнения статики составляют так, чтобы в каждое из них входила, как правило, только одна неизвестная опорная реакция. В этой задаче нужно спроектировать все силы на ось стержня и определить алгебраические суммы моментов сил относительно точек закрепления А и В. При составлении уравнений равновесия за положительное направление сил и моментов можно принимать любое, так как сумма проекций сил на любую из осей и сумма моментов всех сил относительно любой точки равны нулю. Обычно применяется следующее правило знаков: положительные направления сил соответствуют направлению координатных осей; положительное направление момента соответствует направлению движения часовой стрелки. Сосредоточенный момент М₀, независимо от положения сечения, в котором он приложен, обязательно входит в уравнение моментов. Таким образом, можно записать следующую систему уравнений:

Решив ее при заданных исходных данных, получим Y_A = 5 кН; Y_B = 15 кН. Величины опорных реакций положительны, следовательно, выбранные направления их соответствуют действительным.

Для проверки составим уравнение статики, не использованное при расчете реакций, например, сумму проекций всех сил на ось Y:

Y = Y_A – P + Y_B = 5 – 20 + 15 = 0.

Уравнение удовлетворяется тождественно, следовательно, реакции определены верно.

Для построения эпюр Q и М необходимо определить перерезывающие силы и изгибающие моменты. Данная балка имеет два грузовых участка границами, которых являются опорные сечения и сечение, где приложена сосредоточенная сила Р. Чтобы составить выражения для Q и М, для каждого участка проведем произвольные сечения на расстоянии х от начала координат. За начало координат для каждого участка можно принять точку опоры или начало участка.

В качестве первого участка рассмотрим ту часть балки, на которую действует меньшее число приложенных нагрузок, т.е. часть балки слева от сечения. Выражения для Q и М составляем c учетом принятого правила знаков.

На первом участке абсцисса x изменяется в пределах 0  x₁  a. Здесь Q₁ = Y_A = 5 кН. Перерезывающая сила на этом участке не зависит от х, т.е. постоянна по длине участка. Изгибающий момент на первом участке равен M₁ = Y_Ax₁. При х₁ = 0 момент он равен нулю (М₁ = 0), а при х₁ = а = 0,5 м - М₁=Y_А a = 2,5 кНм.

На втором участке абсцисса x изменяется в пределах а  x₂  (a+b)^*. На этом участке Q₂ = const и Q₂ = Y_A – P = 15 кН. На втором участке уравнение моментов имеет вид: M₂ = Y_A x₂ – P(x₂ – a)

при x₂ = a = 0,5 м  M₂ = 2,5 кНм; а при x₂ = а + b = 2 м  М₂= 20 кНм.

Эпюры Q и М строим по составленным аналитическим зависимостям, откладывая в рассмотренных сечениях найденные значения ординат; при этом положительные ординаты откладываются вверх от нулевых линий эпюр, отрицательные – вниз (рис.1, б и в).

Как видно из рис.1, в сечениях балки, где приложены сосредоточенные силы Y_A, Р и Y_B, на эпюре Q имеют место скачки на величину этих сил; а в опорном сечении, где приложен сосредоточенный момент М₀, на эпюре М - скачок на величину этого момента. Поскольку на границе участков балки эпюра Q имеет скачок, то линии, ограничивающие эпюру М на этих участках, сопрягаются с переломом.

Пример 2. Построить эпюры Q и M для консольной балки при q=10 кН/м; М₀ = 20 кНм; l = 2 м (рис.2, а).

Построение эпюр Q и M для консольных балок рекомендуется производить, не вычисляя реакций. Если рассечь балку в любом сечении и рассматривать часть балки между сечением и свободным концом, то в выражения для Q и M войдут только приложенные к балке известные нагрузки.

Балка имеет два грузовых участка длиной l/2, левый участок назовем первым, правый - вторым. Начало координат расположим в центре тяжести крайнего левого сечения, ось Y направим вертикально вверх, ось Х - вправо. Рассечем балку в пределах каждого грузового участка сечениями, расположенными на расстояниях х₁ и х₂ от начала координат (х₂ можно отсчитывать от точки приложения М₀).

На первом участке х₁ изменяется в пределах 0  х₁  l/2. Перерезывающая сила на первом участке: Q₁ = qx₁; где Q₁ = 0 при х = 0 и Q₁ = 10 кН при х₁ = l/2 = 1 м.

Так как перерезывающая сила зависит от x₁, то изгибающий момент будет зависеть от . Для вычисления изгибающего момента заменим равномерно распределенную нагрузку сосредоточенной силой qx₁, численно равной площади эпюры этой нагрузки в пределах рассматриваемой части балки и приложенной в центре тяжести площади эпюры, т.е. на расстоянии х₁/2 от рассматриваемого сечения.

В соответствии с принятым выше правилом знаков изгибающий момент на первом участке: М ₁ = q, т.е. закон изменения изгибающего момента на первом участке есть кривая второго порядка; М₁ = 0 при х₁ = 0 и М₁ = 5 кНм при х₁ =l/2= 1 м. При построении эпюры М на первом участке следует иметь в виду, что выпуклость параболы должна быть направлена навстречу действию распределенной нагрузки.

На втором участке абсцисса х₂ изменяется в пределах l/2  x₂  l. Здесь перерезывающая сила: Q₂ = q l/2 = 10 кН. Изгибающий момент на втором участке равен алгебраической сумме момента распределенной нагрузки относительно центра тяжести любого сечения, проведенного в пределах этого участка, и сосредоточенного момента. Момент распределенной нагрузки равен равнодействующей этой нагрузки ql/2, умноженной на расстояние от точки ее приложения до центра тяжести проведенного сечения х₂  l/4. Следовательно, на втором участке: M₂ = ql(x₂  l/4) + M₀, при x₂ = l/2  М₂ = 15 кНм; а при x₂ = l  M₂ = 5 кНм.

Для проверки правильности построения эпюр Q и М (см. рис.2, б и в) используем изложенные выше правила построения эпюр. Площади эпюр Q на каждом из грузовых участков должны быть равны разности моментов в граничных сечениях этих участков. На первом участке площадь эпюры Q равна 5 кНм, разность моментов в граничных сечениях этого участка также равна 5 кНм. На втором участке площадь эпюры Q равна 10 кНм, что равно разности моментов на границах этого участка. Следовательно, построение эпюр удовлетворяет указанному правилу. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, на эпюре М виден скачок, равный величине этого момента в направлении его действия.

Пример 3. Построить эпюры и для балки с промежуточным шарниром в пролете при кН; кН∙м; кН/м; м, рис.3, а.

Для построения эпюр необходимо определить четыре опорные реакции и . Статика позволяет написать только три уравнения равновесия. В данном случае опорные реакции можно определить двумя способами.

Вариант 1: Четвертое уравнение, необходимое для определения реакций, составим из условия, что шарнир С по свойству конструкции не может передать момента, так как не препятствует повороту одной части балки АС относительно другой СВ. Следовательно, сумма моментов относительно точки С сил, приложенных слева или справа от шарнира, равняется нулю.

Составим уравнения статики и дополнительное уравнение:

, ;

, ;

, .

П оследнее уравнение получено приравниванием к нулю суммы моментов относительно шарнира (точки С) внешних сил, расположенных слева от шарнира. Решив эту систему уравнений, получим значения опорных реакций: ; кН; кН; кН∙м. Проверка:

; .

Вариант 2: Опорные реакции, действующие на балку АВ, определяем, расчленив эту балку на участки АС и ВС (см. рис.4, б). Балка ВС опирается в точке С шарнирно на свободный конец балки АС, другой конец которой заделан, а в точке В – на шарнирно-подвижную опору. Поэтому всю балку АВ можно рассматривать как комбинацию из двух балок. При этом балка АС, которая может работать самостоятельно, без балки СВ, называется основной; балка СВ, которая не может работать самостоятельно, называется вспомогательной или подвесной.

Подвесная балка ВС воспринимает в шарнире С реакцию от свободного конца балки АС, давит на этот конец с такой же, но противоположно направленной силой . Рассматривая сначала равновесие подвесной балки ВС, найдем ее опорные реакции с помощью уравнений статики:

;

;

Решив эти уравнения, получим =20 кН и =20 кН. Затем прикладываем известную силу к свободному концу балки АС. Составив уравнения статики для балки АС, найдем реакции и :

;

=20кН;

=20кН·м.

Значения реакций те же, что и при первом варианте. В данном решении сила была учтена при подсчете реакции , действующей на подвесную балку. Можно было бы поступить и иначе: реакцию определить без учета силы , а свободный конец основной балки нагрузить силами и .

Теперь определим поперечные силы и изгибающие моменты. При составлении выражений для Q и M балка АВ рассматривается как единое целое (без учета шарнира). Балка имеет четыре грузовых участка, которые пронумеруем слева направо. Важно помнить, что шарнир С является точкой раздела участков только в том случае, если в нем приложена внешняя нагрузка, как в нашем случае.

Для составления уравнений перерезывающей силы и изгибающего момента, как и в предыдущих случаях, проведем произвольные сечения в пределах каждого участка. При этом для первого и второго участков абсциссу будем отсчитывать от опоры А, для третьего и четвертого – от опоры B. Для удобства все вычисления сведем в следующую таблицу:

№ n/n	, м	Формула для Q	Q, кН	Формула для M	M, кН·м
1	0; 1	Q1 = YA	20	M1=-MA + YA x1	-20; 0
2	1; 2	Q2 = YA – P1	0	M2=-MA + YA x2 – -P1 (x2 – 1)	0
3	1; 2	Q3 = -YB + qx3	-10; 0	M3=YB x3 - - -M0	-5; 0
4	0; 1	Q4 = -YB – qx4	-20; -10	M4 = YB x4 -	0; 15

По полученным значениям перерезывающей силы и изгибающего момента построим их эпюры (см. рис3, в и г).