2. Интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция)

Определение. Интегралом Эйлера второго рода (Гамма-функцией) называется интеграл вида

. (5)

Покажем, что этот интеграл сходится при a>0. Для этого представим его в виде:

.

Интеграл I₁ является собственным при a1 и несобственным при a<1 (особая точка х=0). Подынтегральная функция . Положим . Т.к. (конечный, 0), то интегралы и сходятся или расходятся одновременно. Следовательно, I₁ сходится при 1-a<1 или a>0.

Рассмотрим I₂. Т.к. при любом a , то k>1: xk будет, например, выполнено . Разделив обе части неравенства на х² (х²k²>1), получим a. Т.к. сходится, то сходится и a, а, значит, при любом a сходится и .

Следовательно, интеграл (5) сходится, если a>0 и расходится, если a0.

Т.е. областью определения функции (a) является промежуток (0;+).

Свойства Гамма-функции

1. (a)>0, a(0;+).

Это следует из выражения (5) для Гамма-функции.

2. Гамма-функция при всех a>0 непрерывна и имеет непрерывные производные всех порядков, причем

. (6)

Установим существование первой производной и равенство

.

Возьмем a₀>0. Всегда можно указать промежуток [c;d] (0<c<d<+), такой, что c<a₀<d. Имеем

1) и непрерывны в области .

2) сходится в промежутке [c;d].

3) Покажем, что сходится равномерно относительно a на промежутке [c;d].

Имеем .

Рассмотрим .

Т.к. 0<x1, cad, то . Учитывая, что lnx0, получим . Тогда .

Т.к. e^-x<1 при x(0;1], то . Интегрируя по частям, получим

.

Известно, что сходится при 1-c<1, т.е. при c>0. Следовательно, по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра, заключаем, что сходится равномерно относительно параметра a на промежутке [c;d].

Рассмотрим .

При x1, cad, выполнено . Т.к. lnx0, получим . Имеем . Т.к. , то существует точка , такая, что для будет . Следовательно, для : . Т.к. сходится при любом конечном d, то сходится , а, значит, и . А тогда по признаку Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра, заключаем, что сходится равномерно относительно параметра a на промежутке [c;d].

Т.о., окончательно приходим к выводу, что сходится равномерно относительно параметра a на промежутке [c;d].

Значит, существует a[c;d], в частности, . Т.к. a₀>0 – произвольная точка, то существует для a(0;+), причем .

Доказательство равенства (6) проводится по индукции.

3. Применяя формулу интегрирования по частям, находим

.

Отсюда

a(a)=(a+1). (7)

Это равенство выражает основное свойство Гамма-функции.

Из (7) при и 0<a<1 получим

(n+a)=(n+a-1)(n+a-1)=(n+a-1)(n+a-2)(n+a-2)=…=

=(n+a-1)(n+a-2)(n+a-3)…a(a). (8)

Т.о., значение Гамма-функции от аргумента n+a>1 можно выразить через значение аргумента a<1. Поэтому таблица значений Гамма-функции обычно дается для значений аргумента из интервала (0;1).

В частности, если в формуле (8) положить a=1 и учесть, что

,

То получим

(n+1)=n(n-1)(n-2)…21=n!

Т.о., Гамма-функцию можно считать обобщением факториала натурального числа: Гамма-функция является продолжением функции a!, определенной только для на всю полуось a>0 действительных чисел.

4. а) ; б) .

а) Т.к. a>n, то .

б) Запишем соотношение (7) в виде и перейдем к пределу при a+0. В силу непрерывности Гамма-функции в интервале (0;+) . Значит, и . Следовательно, . Т.е при приближении к нулю справа гамма-функция ведет себя, как положительная бесконечно большая величина .

5. Покажем, что между Бета-функцией и Гамма-функцией существует следующая связь:

. (9)

Сделаем в интеграле замену переменной: x=(1+u)t (t>0)

.

Отсюда .

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем по u от 0 до +:

.

Т.к. , то последнее неравенство запишем в виде:

.

В интеграле в правой части поменяем порядок интегрирования:

.

Во внутреннем интеграле сделаем замену v=ut:

.

Отсюда получаем (9).

В частности, . Если 0<a<1, то отсюда

. (10)

Формула (10) называется формулой дополнения.

Полагая , отсюда получим: , следовательно,

. (11)

Из соотношений (8), (11), получим

,

т.е. .

С помощью соотношения (11) можно вычислить интеграл Пуассона.

,

.

Замечание 1. При выводе формулы (9) мы переставили два интеграла с бесконечными пределами, зависящих от параметра. Теорема 7 обосновывает перестановку двух интегралов, из которых лишь один распространен на бесконечный промежуток. Доказательство возможности перестановки двух интегралов с бесконечными пределами можно найти в учебнике Л.Д. Кудрявцева «Курс математического анализа», т.2.

Замечание 2. Гамма-функция, не являющаяся элементарной, играет в математике важную роль. Для функции Г(а) составлены подробные таблицы, и при вычислениях она может использоваться наряду с простейшими элементарными функциями – показательной, тригонометрическими и т.д.

Оказывается, что определенные интегралы различных типов могут быть выражены через Гамма-функцию. В частности, к таким интегралам нередко приводят задачи, связанные с вычислением площадей и объемов. Даже если функция имеет первообразную, являющуюся элементарной функцией, интеграл зачастую целесообразно вычислять, используя Гамма-функцию.

21