5. Формула Грина-Остроградского

Формула Грина-Остроградского связывает двойной интеграл по области (P) с криволинейным интегралом по границе (L) этой области.

I. Пусть область (P) ограничена контуром (L), состоящим из непрерывных кривых y=₁(x), y=₂(x), ₁(x)₂(x) x[a;b] и отрезков прямых x=a, x=b, a<b, то есть (P) - простая область I типа: (P_I)

Если функция P(x;y) вместе с непрерывна на замкнутой простой области (P_I), то справедлива формула

, (1)

где интегрирование по контуру берется в положительном направлении.

Доказательство.

.

Формула(1) справедлива и для более сложных областей, которые можно разбить на конечное число областей I типа. Покажем это на следующем примере.

Пусть область ограничена контуром (L). , где - простые области I типа. Обозначим - контуры этих областей. Пусть - части, на которые разбит контур (L).

, , .

К каждой из областей применима формула (1).

,

,.

Сложив эти равенства, учитывая, что , получим формулу (1).

II. Пусть область (P) ограничена кривой (L), состоящей из непрерывных кривых x=₁(y), x=₂(y), ₁(y)₂(y) y[c;d] и отрезками прямых y=c, y=d (c<d). То есть (P) - простая область II типа: (P_II).

Если функция непрерывна на замкнутой области (P_II), то справедлива формула

. (2)

Криволинейный интеграл в (2) берется в положительном направлении. Доказательство (2) аналогично доказательству формулы (1). Формула (2) справедлива и для более сложных областей, которые можно разбить на конечное число областей II типа.

III. Область (P) называется простой , если она одновременно является областью (P_I) и (P_II). Очевидно, любая прямая, параллельная осям координат, пересекает простую область не более, чем в двух точках.

Пусть (P) - простая область, (L) - ее контур. Тогда для этой области справедливы одновременно равенства (1) и (2). Вычитая (1) из (2) получим

. (3)

Из вышесказанного следует, что формула (3) справедлива и для области, которая может быть представлена в виде конечного числа простых областей. Итак, доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть (P) - простая область (или область, представимая в виде конечного числа простых областей). Тогда если P(x;y) и Q(x;y) непрерывны вместе с частными производными и на замкнутой области (P), то справедлива формула (3).

Формула (3) называется формулой Грина – Остроградского. Ее можно доказать и для более общего случая: она справедлива и для области, которая ограничена одной или несколькими кусочно-гладкими кривыми.

Пример 1. С помощью формулы Грина – Остроградского вычислить криволинейный интеграл:

а) ,

б) ,

где (L) - контур треугольника с вершинами A(1;1), B(2;2), C(1;3).

Δ а) , ,

, .

(AB): y=x, (BC): , , x-2=2-y, y=4-x.

.

б) P(x;y)=2e^x-y, Q(x;y)=ye^x, , ,

. 

Пример 2. С помощью формулы Грина вычислить интеграл

, .

 (L): x²+y²-4y+4=4, x²+(y-2)²=4,

P(x;y)=e^xsiny-y, ,

Q(x;y)=e^xcosy-1, ,

.

Или . 

6. Вычисление площадей с помощью криволинейного интеграла

Пусть для области с границей (L) справедлива формула Грина (3):

.

Полагая в (3) Q(x;y)=x, P(x;y)=0, получим

. (4)

Полагая в (3) Q(x;y)=0, P(x;y)=-y, получим

. (5)

Складывая (4) и (5) и деля на 2, получим

. (6)

Для вычисления площади можно использовать любую из формул (4)-(6). Наиболее удобна последняя.

Пример 1. Вычислить с помощью криволинейного интеграла площадь фигуры, ограниченной кардиоидой

t	0
x	a		a	-	-3a	-	a		a
y	0		2a		0		-2a		0

,

ABCDE: t[0;],

EA: y=0, dy=0  .

Следовательно,

.

.