4. Дивергенция векторного поля
Рассмотрим поле
вектора
.
Определение. Дивергенцией векторного поля называется
.
Теорема
Остроградского
(векторная форма). Поток векторного поля
через замкнутую поверхность (S)
наружу равен тройному интегралу от
дивергенции векторного поля
по
телу (V),
ограниченному поверхностью (S):
.
Доказательство.
Будем предполагать,
что существуют интегралы, о которых
пойдет речь. Рассмотрим поток векторного
поля
через поверхность (S)
наружу:
.
Применяя формулу Остроградского-Гаусса, получим
.
Отсюда
.
Механический смысл дивергенции векторного поля
Допустим, что
векторное поле есть поле скоростей
текущей жидкости
и пусть
плотность этой жидкости =const.
Возьмем в поле вектора
замкнутую поверхность (S),
ограничивающую малый объем. По теореме
Остроградского поток векторного поля
через эту поверхность
.
Применяя теорему о среднем, получим
,
где М – некоторая средняя очка, лежащая в теле (V). Отсюда
.
Сжимая тело в точку, в пределе получим
,
где - диаметр разбиения.
Вывод.
Дивергенция векторного поля
дает расход жидкости из точечного
источника в единицу времени, т. е. удельную
силу источника. Заметим, что если
в данной точке положительна, то это
значит, что в точке находится источник,
а если
в данной точке отрицательна, то это
значит, что в точке находится сток.
5. Циркуляция и ротор векторного поля
Пусть в некоторой
области задано векторное поле
,
и L
– гладкая или кусочно-гладкая кривая,
расположенная в этой области. Выберем
на кривой L
одно из двух направлений движения и
обозначим через вектор, имеющий в каждой
точке направление, совпадающее с
направлением движения по кривой в этой
точке, и по модулю равный дифференциалу
длины дуги:
, 
.
Тогда криволинейный интеграл от скалярного произведения векторов и
называется циркуляцией векторного поля вдоль кривой L.
В силовом поле циркуляция выражает работу силового поля при перемещении материальной точки вдоль пути L.
Пусть некоторая
поверхность (S)
ограничена замкнутым контуром L.
Тогда по
формуле Стокса циркуляция вектора
вдоль этого контура может быть выражена
поверхностным интегралом:
Определение.
Ротором
(вихрем)
векторного поля называется вектор
,
определяемый равенством
.
Т.о., в векторной форме формула Стокса запишется так:
.
Циркуляция вектора вдоль замкнутого контура равна потоку вихря через поверхность, ограниченную этим контуром.