Кинематика

1. Средняя путевая скорость определяется как отношение пути, пройденного телом, ко времени движения:

2. Поступательное движение материальн6ой точки ( или твердого тела) характеризуются линейной скоростью:

Вектор скорости неравномерного движении можно также найти как первую производную от вектора перемещения по времени

Если движение переменное, то его характеризуют ускорением

где - изменение вектора скорости за время . Для прямолинейного равнопеременного движения ускорение остается постоянным по величине и направлению. Вектор ускорения переменного движения можно найти как первую производную от вектора скорости по времени

Уравнение пути и скорости имеют вид:

где - начальная скорость тела.

3. Тело может одновременно участвовать в двух и более движениях. Так, тело брошенное горизонтально со скоростью с некоторой высоты h, участвует в двух независимых движениях: равномерном и прямолинейном движении по горизонтали и свободном падении по вертикали. В координатах xy эти уравнения запишутся

Скорость в любой точке криволинейной траектории определяется:

где ,

Аналогично рассматривается движение тела, брошенного под углом к горизонту.

4. При движении тела по окружности скорость направлена по касательной к окружности, а центростремительное ускорение по радиусу к центру

Полное ускорение:

и - тангенциальное и нормальное ускорения;

Для равномерного вращательного движения угловая скорость равна

где T – период вращения, n –частота обращения (число оборотов в единицу времени). Уравнение движения при равномерном вращении .

Линейная скорость и ускорение связаны с угловой скоростью соотношениями:

,

При вращении с ускорением полное ускорение:

 - угловая скорость;  - угловое ускорение; R - радиус окружности.

При равнопеременном вращении тела уравнение зависимости угловой скорости от времени имеет вид:

,

а формула зависимости угловой скорости от времени:

В этих формулах выбирают знак «+» для равноускоренного вращения, знак «-» для равнозамедленного. Также, угловая скорость может быть выражена как первая производная от угла поворота по времени

Угловое ускорение при равнопеременном вращении можно найти как первую производную от угловой скорости по времени

5. Во всех задачах раздела «Кинематика» сопротивление воздуха не учитывается. Если это особо не оговорено в условии задачи.

Пример 4.

Точка движется вдоль оси x согласно уравнению , где t – время в секундах. Найти среднюю скорость движения за первые 5 с.

Решение.

Средняя скорость движения тела за время от 0 с до 5 с по определению равна

- координата тела в момент времени =0 с,

- координата тела в момент времени =5 с.

Отсюда

Пример 5.

Уравнения движения тела дано в виде x=15t+0,4t². Определить скорость тела через 5 с и ускорение тела.

Решение.

По определению скорости

Тогда =(15+0,8∙5)=19 м/с

Ускорение =

Пример 6.

С какой высоты падало тело, если последние 3 м пути оно пролетело за 0,2 с?

Решение.

Тело падает с высоты , где t- полное время падения. В момент оно находилось на высоте 3 м от поверхности. Поэтому можно написать

Отсюда находим время падения тела

, t=1,6 с

Следовательно, тело падало с высоты =12,8 м

Пример 7.

Максимальная скорость камня, брошенного под углом к горизонту, в 2 раза больше минимальной. Определить под каким углом к горизонту был брошен камень.

Решение.

В направлении оси x камень движется равномерно, поэтому в любой точке траектории . В направлении оси y движение камня равнопеременное. Скорость камня максимальна в точках бросания и падения, а минимальна в верхней точке траектории. Из приведенных рассуждений следует, что

cos α=

Пример 8.

Найти угловую скорость равномерно вращающегося диска, если линейная скорость точек на ободе 5 м/с, а точки, расположенные на =20 см ближе к оси вращения,

Имеют скорость 3м/с.

Решение.

Угловая и линейные скорости точек вращающегося диска связаны соотношением

, так как вращение равномерное.

Следовательно

Отсюда находим