5. Уравнение расхода для элементарной струйки

Количество жидкости, протекающее за единицу времени через рассматриваемое сечение потока, называется расходом. Он может измеряться в единицах массы (массовый расход , кг/с) или в единицах объема (объемный расход , м³/с).

Рис.3.3. Элементарная струйка

Рассмотрим отсек элементарной струйки между двумя произвольными сечениями и , нормальными к направлению скоростей и , плотности в сечениях и соответственно (рис.3.3). При установившемся движении форма и объем рассматриваемого отсека не изменяются, плотность жидкости в каждой точке сечения и средняя плотность по всему отсеку также не изменяются. Притока или оттока жидкости через боковую поверхность струйки нет. Условие неразрывности или сплошности потока требует, чтобы масса втекающей в отсек за время жидкости равнялось бы массе вытекающей из отсека .

Масса жидкости, прошедшей со скоростью через бесконечно малое сечение потока за какой-то бесконечно малый отрезок времени , определяется как

,

где - площадь сечения нормального к вектору скорости .

Применяя это соотношение для сечений и , получим

.

Сокращая и учитывая, что рассматриваемые сечения были выбраны произвольно, получим

. (3.7)

Массовый расход при установившемся движении одинаков во всех сечениях элементарной струйки. Уравнение справедливо для несжимаемой и сжимаемой жидкости. Для капельной (несжимаемой) жидкости учитывая, что , а объемный расход , запишем

. (3.8)

Из уравнения следует, что или , т.е. скорость обратно пропорциональна площади сечения элементарной струйки для несжимаемой жидкости.

5. Расход жидкости через сечение конечных размеров

На практике уравнение одномерного движения применяют к целому потоку конечных размеров, который согласно струйной модели состоит из бесконечно большого числа элементарных струек, а расход определяется как сумма расходов всех струек

. (3.9)

Так как в поперечном сечении потока скорость неодинакова, то для вычисления этого интеграла необходимо знать вид подынтегральной функции, т.е. зависимость, которая описывает распределение скорости в потоке. В некоторых случаях известно распределение скорости, а в большинстве случаев – нет, поэтому для вычисления интеграла вводят понятие средней скорости.

Под средней скоростью V понимают такую одинаковую во всех точках сечения скорость, расход при которой равен истинному значению.

Заменяя в подынтегральном выражении вместо действительной среднюю скорость

, (3.10)

формула для средней скорости будет иметь вид

_(3.11)

Величина средней скорости может быть подсчитана, если расход жидкости через данное сечение и площадь этого сечения известны (например, замерены), или задан закон изменения истинных скоростей.

В реальных условиях движения жидкости встречаются крутые повороты, резко меняющиеся сечения и т.п. Для этих сечений нельзя вычислять расход. Условно принимая за расчетные сечения такие, которые достаточно удалены от мест искривления.

С учетом этих обстоятельств уравнение объемного расхода примет вид

(3.12)

а для массового расхода

(3.13)