Содержание занятия

1. Примеры задач на составление сложных событий.

Пример 1. В цехе имеется три резервных мотора, которые в данный момент могут быть одни включены, другие нет.

Пусть событие включен i-ый мотор, ;

событие не включен i-ый мотор, .

Составить:

1. Событие В – включены все три мотора. Событие В означает, что включен первый, второй и третий мотор в данный момент, т.е. В может быть представлено так:

2. Событие С – в данный момент включен только один мотор (безразлично какой). Событий С можно представить так:

где событие означает, что в данный момент включен первый мотор, а второй и третий выключены;

событие означает, что включен второй мотор, а первый и третий выключены;

событие означает, что включен третий мотор, а первый и второй выключены.

3. Событие D – включены по крайней мере два мотора, т.е. или два или три.

т.е. в данный момент включены первый и второй моторы, а третий выключен; или первый и третий включены, а второй выключен; или второй и третий выключены, а первый включен; или включены первый, второй и третий.

4. Событие Е – все три мотора отключены.

.

2. Примеры решения задач на сложение вероятностей несовместных событий.

Если попарно несовместны, то

.

Пример 1. Из урны, содержащей 20 белых, 15 голубых и 5 зеленых шаров, наугад извлекли один шар. Какова вероятность извлечения цветного шара?

Решение. Согласно условию задачи нас интересует случай извлечения цветного шара, неважно какого голубого или зеленого.

Пусть событие С – извлечение цветного шара;

событие А – извлечение голубого шара;

событие В – извлечение зеленого шара.

Надо вычислить наступление одного из двух несовместных событий: или А, или В.

Следовательно, ; .

Вычислим вероятность извлечения цветного шара.

Пример 2. Группа студентов – спортсменов, состоящая из 6 студентов I курса, 5 студентов II курса и 4 студента III курса, проводит тренировку. Одновременно тренируются двое. Какова вероятность того, что войдя случайно на тренировку, мы застанем тренирующимися двух студентов одного курса?

Решение. Пусть событие А – тренируются два студента одного курса (или I или II или III).

Событие тренируются студенты го курса, .

События несовместны и

.

.

Очевидно, что

.

Пример 3. События образуют полную группу событий. Известно, что Найти вероятность события .

Решение. Т.к. события образуют полную группу событий, то . Отсюда

.

Пример 4. События А и В противоположные. Какова вероятность события В?

Решение. Т.к. события А и В противоположные, то они образуют полную группу событий и

3. Примеры решения задач по умножению вероятностей независимых событий.

Если независимы в совокупности, то

.

Пример 5. В течение года две фирмы имеют возможность независимо друг от друга обанкротиться с вероятностями 0,06 и 0,09 соответственно. Найти вероятность того, что в конце года обе фирмы будут функционировать.

Решение. Пусть событие А – обе фирмы в конце года будут функционировать (первая и вторая).

Событие будет функционировать ая фирма, .

События

События и независимы, значит .

Найдем и . По условию известны вероятности банкротства каждой фирмы. События «фирма функционирует» и «фирма обанкротилась» противоположные. Следовательно,

Тогда

Пример 6. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,8. Стрелку разрешено стрелять до первого промаха. Какова вероятность того, что стрелок произведет: а) ровно три выстрела; б) не менее трех выстрелов; в) не более трех выстрелов?

Решение. а) Пусть событие А – стрелок произвел три выстрела. Согласно условию задачи, речь идет о событии «» («–» – промах, «» – попадание). Т.о, попадание при ом выстреле, промах при ом выстреле, поэтому

События независимы.

б) Не менее трех выстрелов придется сделать, если в каждом из первых двух выстрелов будет попадание в цель, т.е. «».

Событие В – стрелок произведет не менее трех выстрелов.

в) Событие С – стрелок произведет не более трех выстрелов. Рассмотрим противоположное событие стрелок произведет более трех выстрелов:

Пример 7. Вероятность того, что деталь окажется первосортной равна 0,95 при условии, что она изготовлена на первом станке и 0,8 при условии, что она изготовлена на втором станке. На первом станке изготовлено три, а на втором – четыре детали. Определить вероятность того, что все эти детали первосортные.

Решение. Событие А – все детали первосортные.

Событие три детали, изготовленные на первом станке, первосортные.

Событие четыре детали, изготовленные на втором станке, первосортные.

независимые события.