4. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

Необходимое условие сходимости: Если последовательность сходится, то она ограничена.

(lim _{n → ∞} x_n = a) => ((x_n) ограничена)

Доказательство:

( > 0) ( NN) | ( n > N): |х_n - а| < 

Пусть =1. Тогда |х_n - а| < 1.

Оценим х_n: |х_n| = |х_n – a + a| ≤ |х_n – a| + |a| ≤ 1 + |a|

Обозначим C = max{1 + |a|; |х₁|; |х₂|; …: |х_n|} => |х_n| < C => (х_n) ограничена.

Обратное утверждение неверно: например, х_n=(-1)ⁿ

5. Арифметические операции над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух последовательностей.

Если lim _{n → ∞} x_n = a и lim _{n → ∞} y_n = b, то:

1) lim _{n → ∞} (x_n ± y_n)= a ± b

2) lim _{n → ∞} (x_n * y_n)= a * b

3) lim _{n → ∞} (x_n / y_n)= a / b (y_n ≠ 0; b ≠ 0)

Т1: Предел суммы равен сумме пределов.

Доказательство:

(lim _{n → ∞} x_n = а)  ( > 0) ( N₁N) | ( n > N₁): |х_n - а| < /2;

(lim _{n → ∞} y_n = b)  (для выбранного  > 0) ( N₂N) | ( n > N₂): |y_n - b| < /2.

|(x_n + y_n) – (a + b)| = |x_n – a + y_n – b| ≤ |x_n – a| + |y_n – b|

N = max {N₁; N₂}, тогда  n > N |x_n – a| + | y_n – b| < /2 + /2 = .

Итак, для любого  > 0 нашелся номер N (как наибольший из номеров N₁ и N₂) такой, что для всех номеров n больше этого номера выполняется неравенство: |( x_n + y_n) – (a + b)| < .

Т2: Предел произведения равен произведению пределов.

Доказательство:

(lim _{n → ∞} x_n = а)  ( > 0) ( N₁N) | ( n > N₁): |х_n - а| < /2;

(lim _{n → ∞} y_n = b)  (для выбранного  > 0) ( N₂N) | ( n > N₂): |y_n - b| < /(2|a|).

|x_n*y_n – a*b| = |x_n – a*y_n + a*y_n – a*b| ≤ | y_n|*|x_n – a| + |a|*|y_n – b|.

Т.к. (y_n) – сходящаяся, то она ограничена =>  c >0: |y_n| < c.

N = max { N₁; N₂}, тогда

 n > N |x_n*y_n – a*b| ≤ | y_n|*|x_n – a| + |a|*|y_n – b| < c*/(2c) + |a|*/(2|a|) = .

Итак, для любого  > 0 нашелся номер N (как наибольший из номеров N₁ и N₂) такой, что для всех номеров n больше этого номера выполняется неравенство: |x_n*y_n – a*b| < .

Т3: Предел частного равен частному пределов.

6. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами: теорема о трех последовательностях, предельный переход в неравенствах.

Теорема о трех последовательностях: Если последовательности (x_n), (y_n) и (z_n) таковы, что x_n≤y_n≤z_n для всех n > n₀ и lim _{n → ∞} x_n = lim _{n → ∞} z_n = а, то lim _{n → ∞} y_n = а.

Доказательство:

Т.к. lim _{n → ∞} x_n = а, то ( > 0) ( N₁N) | ( n > N₁) выполняется неравенство

|х_n - а| < , т.е. - < х_n – а <  => a -  < х_n.

Т.к. lim _{n → ∞} z_n = а, то по выбранному  > 0 ( N₂N) | ( n > N₂) выполняется неравенство |z_n - а| < , т.е. - < z_n – а <  => z_n < a + .

Выбираем N = max {N₁; N₂}.

 n > N a -  < х_n ≤ y_n ≤ z_n < a +  => y_n (a - ; a + ), что по определению означает, что lim _{n → ∞} y_n = а.

Предельный переход в неравенствах: Если lim _{n → ∞} x_n = а и x_n ≥ p ( n > n₀), то a ≥ p.

Доказательство:

Предположим противное:  = p – a > 0.

Т.к. lim _{n → ∞} x_n = а, то по определению ( > 0,  = p – a) ( N₁N) | ( n > N₁)

выполняется неравенство |х_n - а| < p – a.

a – p < х_n - а < p – a

х_n < p, что противоречит условию x_n ≥ p. Значит, a ≥ p.