§11. Общее решение слау.

Определение. Множество решений системы линейных алгебраических уравнений

называется общим решением этой системы. Т.е. любой вектор этого множества есть решение и любое решение этой системы принадлежит указанному множеству.

Из §8 следует, что общим решением однородной системы является некоторое подпространство пространства . Для неоднородной системы это не так: общее решение неоднородной системы не образует линейного пространства.

{Нулевой вектор (0,0,…,0) не является решением исходной системы.}

Итак, дана совместная система , матрица которой имеет ранг равный r. Для простоты будем считать, что базисный минор матрицы находится в левом верхнем углу (этого всегда можно добиться перестановкой строк и изменением нумерации неизвестных). Оставим первые r уравнений системы и перенесем неизвестные в правую часть. Если теперь дать этим неизвестным произвольные фиксированные значения, то по Т. Крамера полученная система будет иметь единственное решение (определитель системы = базисному минору ≠ 0). Это решение (вместе с ) является решением исходной системы, так как все строки расширенной матрицы (по критерию Кр. – К. ) есть линейные комбинации базисных.

Можно показать, что любое решение может быть получено таким же образом. Достаточно взять из предложенного решения и первые неизвестные определятся однозначно по теореме Крамера. Тем самым, указанный метод позволяет получить общее решение системы.

В общем случае базисного минора будем называть неизвестные, не входящие в базисный минор, свободными, а, входящие в него – зависимыми.

На практике матрицу системы сначала приводят к ступенчатому виду, затем выбирают базисный минор и , таким образом, зависимые и свободные неизвестные. При этом, желательно все преобразования производить только со строками, чтобы сохранить нумерацию неизвестных. После этого зависимые переменные выражают через свободные и записывают общее решение.

Рассмотрим на примере данный алгоритм и сделаем несколько общих выводов.

Пусть .

Последняя формула, вообще говоря, дает общее решение данной системы при произвольных значениях с₃ и с₄ . Более удобной является векторная форма записи:

.

Из этого примера можно вывести несколько важных общих закономерностей.

I. Ранг системы решений (S(x)) равен числу свободных неизвестных, т.е. rang(S(x)) = n – r, где

n – количество неизвестных, а r – ранг матрицы системы (В примере: n = 4, r = 2, rang(S) = 2).

Обычно, свободные неизвестные для каждого из решений выбираются следующим образом

(для простоты будем считать зависимыми, а − свободными):

для решения

для решения

…………………………………………………

для решения

Легко видеть, что полученные решения 1) линейно независимы и 2) любое решение системы будет их линейной комбинацией.

II. Вектор является частным решением неоднородной системы при с₃ = с₄ = 0, а векторы линейно независимыми решениями соответствующей однородной системы уравнений. Совокупность линейных комбинаций векторов

описывает всю линейную оболочку решений однородной системы, т. е. − общее решение однородной системы уравнений.

III. Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения однородной системы

и частного решения неоднородной:

7