3.5. Абсолютно надежная стеганосистема

В [3,15] представлено формальное теоретико-информационное определение устойчивости стеганосистемы относительно пассивных атак. Главная идея базируется на случайности избрания контейнера с из множества С с вероятностью Р_с.

Встраивание в контейнер секретного сообщения можно описать как функцию, определенную на множестве С. Пусть Р_с — вероятность формирования стеганосистемы Е (с, m, k) надмножестве S всех возможных стеганограмм, полученных с помощью стеганосистемы. Если контейнер с никогда не используется для получения стеганограмм, то Р_S(с) = 0. Для вычисления вероятности P_S необходимо учитывать распределение вероятностей на множестве ключей К и множестве сообщений М.

Определим на множестве Q такое соотношение для относительной энтропии, с помощью которого можно измерить неэффективность принятия неверной гипотезы о распределении Р₁ в случае истинного распределения P_0.

(3.20)

где выражение является алгоритмическим отношением правдоподобия.

Относительная энтропия между двумя распределениями всегда неотрицательна и равна 0 только в случае тождественности данных распределений. Таким образом, для стеганопреобразования можно получить некоторую оценку.

Представим определение надежности стеганосистемы в терминах относительной энтропии.

Определение 3.1

Пусть — стеганографическая cистема; P_s — распределение вероятностей передачи каналом связи стеганограмм; Р_с — распределение вероятностей передачи каналом связи пустых контейнеров. Система называется -надежной к пассивным атакам, если и является абсолютно надежной, если .

Как уже указывалось, соотношение равно нулю только в том случае, когда оба распределения вероятностей равны друг другу. Следовательно, стеганосистема является теоретически абсолютно надежной, если процесс встраивания секретного сообщения в контейнер не изменяет распределение Р_С. Абсолютно безопасная система может быть создана, например, на основании одноразовой гаммы [3].

На основании сказанного, формулируется следующая теорема.

Теорема 3.1

Существует абсолютно надежная стеганосистема

Доказательство

В [15] проведено конструктивное доказательство данного утверждения. Пусть контейнер С представляет собой равномерно распределенную n-битную последовательность для некоторого положительного n. Отправитель с помощью генератора ключа получает равномерно распределенный n-битный ключ К. Считается, что функция встраивания заключается в побитовом сложении по модулю 2 (операция XOR) n-битного секретного сообщения (в роли которого в данном случае выступает собственно контейнер С) с ключом. Получатель декодирует полученную последовательность повторным применением операции XOR : . Совершенно очевидно, что результирующая стеганограмма S также будет представлять собой распределенную n-битную последовательность. Следовательно, Р_С ~ P_S, откуда . Теорема доказана.

3.6. Устойчивость стеганосистем к пассивным атакам

Пассивный нарушитель пытается найти ответ на вопрос: содержит перехваченный им контейнер скрытую информацию или нет? Для этого ему необходимо провести оценку неоднородности некоторых параметров контейнера, обнаружить в нем "подозрительные" участки, завышенное зашумление н другие следы присутствия скрытых сообщений. Эта задача может быть формализована в виде проблемы проверки статистических гипотез [5]. С этой целью вводят тестовую функцию стеганодекодера; которая, в зависимости от типа последнего, может выдавать двухразрядные (в более сложном случае —-разрядные) решения о наличии/отсутствии встроенного сообщения:

(3.20)

С помощью данной функции нарушитель способен оценивать сообщения, перехваченные им в несекретном канале. В качестве детектора скрытых сообщений зачастую используют корреляционный приемник, изображенный на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Корреляционный детектор скрытых сообщений

Пусть вследствие скрытия в изображении-контейнере сообщения, у некоторой части пикселей значение яркости было увеличено на 1, а у других осталось неизменным, или же было уменьшено на 1. Тогда , где . Коррелятор детектора вычисляет величину . Поскольку m принимает значение , то , a всегда будет положительным, поэтому будет очень близким к . Тогда можно воспользоваться сведениями из теории cвязи и записать вероятность ошибочного обнаружения наличия скрытого сообщения как дополнительную (комплементарную) функцию ошибок от корня квадратного из отношения ("энергии сигнала") к дисперсии значений пикселей яркости ("энергия шума") [5].

В детекторе возможно возникновение двух типов ошибок. Существует вероятность того, что при анализе контейнера детектор не обнаружит присутствующего в нем скрытого сообщения (-вероятность пропуска цели или так называемая ошибка 2-го рода), а также вероятность ошибочного обнаружения скрытого сообщения в пустом контейнере (-вероятность Ложной тревоги или так называемая ошибка 1-го рода). Уменьшение одной вероятности приводит к возрастанию другой. На практике пытаются максимизировать для пассивного атакующего ошибку 2-го рода, идеальная же стеганосистема должна обеспечивать ошибку 2-го рода = 1. Ниже будет показано, что все абсолютно надежные стеганосистемы имеют это свойство (при условии, что атакующий совершает ошибку 1 -го рода с вероятностью = 0).

Для -надежных стеганографических систем вероятность и связаны между собой в соответствии с представленной ниже теоремой [15]

Теорема 3.2

Пусть — стеганографическая система, которая является -надежной против пассивных атак. Тогда вероятность того, что нарушитель не обнаружит скрытое сообщение, и вероятность того, что он ошибочно обнаружит несуществующее скрытое сообщение, удовлетворяют соотношению , где — относительная двоичная энтропия, которая определяется как

(3.22)

В частности, если , то

Доказательство

В случае, когда контейнеры не содержат скрытого сообщения, то их распределение вероятностей соответствует Р_с. Рассмотрим случайную величину f(С) и вычислим ее вероятность . Если f(С)=1 (пустой контейнер принимается за стеганограмму), нарушитель совершает ошибку 1 -го рода. Таким образом, и .

Если контейнер содержит скрытое сообщение, то распределение вероятностей соответствует Р_S. Вычислим вероятность для f(С). В случае, когда f(С)=0 (стеганограмма принимается за пустой контейнер), нарушитель совершает ошибку 2-го рода. Следовательно, и . Относительная энтропия в соответствии с (3.20) может быть выражена следующим образом:

Отметим следующее свойство функции относительной энтропии: детерминированная обработка не может увеличить относительную энтропию между двумя распределениями. Пусть Q₀ и Q₁ — две случайные величины, определенные на множестве наблюдений Q с соответствующими, распределениями вероятностей и , а f - произвольная функция отображения , преобразующая множество наблюдений Q во множество наблюдений . Тогда справедливо следующее выражение:

где через и Соответственно помечены случайные величины и Таким образом,

Учитывая что

получаем

Следовательно, если , то . Теорема доказана

Итак, для -надежной стеганосистемы с = 0, необходимо обеспечить, чтобы . При этом вероятность , что эквивалентно невозможности выявления нарушителем скрытого в контейнере сообщения.